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2026-04-09T09:12:31Z
利用者の投稿記録
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カテゴリ:位相空間論
2021-06-02T12:07:23Z
<p>ぱなむー: /* 個別の空間の例 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
== カテゴリ:位相空間論 ==<br />
このページでは[[位相空間論]]に関するMathpedia 内の記事を整理する。<br />
<br />
== 基礎 ==<br />
<br />
以下に述べる事項は位相空間論に関する、非常に基本的な概念である。<br />
<br />
* [[位相空間]]<br />
* [[閉包]]<br />
* [[内部]]<br />
* [[近傍]]<br />
* [[連続写像]]<br />
* [[分離公理]]<br />
* [[コンパクト空間]]<br />
* [[開基]]<br />
<br />
== 概念 ==<br />
<br />
=== 点 ===<br />
<br />
位相空間の点についての概念をリストアップする。<br />
<br />
* [[孤立点]]<br />
* [[閉点]]<br />
* [[特殊化]]<br />
* [[一般化]]<br />
<br />
=== 図形 ===<br />
<br />
位相空間の部分集合についての概念をリストアップする。<br />
<br />
* [[G_δ集合]]<br />
* [[F_σ集合]]<br />
* [[正則開集合]]<br />
* [[正則閉集合]]<br />
* [[導来集合]]<br />
* [[Borel集合]]<br />
<br />
=== 点列・ネットに関連する概念 ===<br />
* [[点列コンパクト空間]]<br />
<br />
=== 空間の性質 ===<br />
<br />
==== [[基数関数]]により特徴づけられる性質 ====<br />
<br />
* [[可分空間]]<br />
* [[第一可算空間]]<br />
* [[第二可算空間]]<br />
* [[Lindelöf空間]]<br />
* [[概Lindelöf空間]]<br />
* [[弱Lindelöf空間]]<br />
* [[c.c.c.空間]]<br />
<br />
==== 開被覆の細分により特徴づけられる性質 ====<br />
<br />
* [[コンパクト空間]]<br />
* [[Lindelöf空間]]<br />
* [[可算コンパクト空間]]<br />
* [[σコンパクト空間]]<br />
* [[メタコンパクト空間]]<br />
* [[パラコンパクト空間]]<br />
* [[強パラコンパクト空間]]<br />
* [[局所コンパクト空間]]<br />
<br />
==== 空間の分離性についての性質 ====<br />
<br />
* [[分離公理]]<br />
* [[sober空間]]<br />
<br />
==== 空間の連結性についての性質 ====<br />
* [[連結空間]]<br />
* [[連結空間|局所連結空間]]<br />
* [[弧状連結空間]]<br />
* [[弧状連結空間|局所弧状連結空間]]<br />
* [[単連結空間]]<br />
* [[単連結空間|局所単連結空間]]<br />
* [[半局所単連結空間]]<br />
* [[n-連結空間]]<br />
* [[n-連結空間|局所n-連結空間]]<br />
* [[完全不連結空間]]<br />
<br />
==== 未分類 ====<br />
* [[副有限空間]]<br />
* [[p空間]]<br />
* [[Σ空間]]<br />
* [[全体正規空間]]<br />
* [[実コンパクト空間]]<br />
* [[Čech完備空間]]<br />
* [[既約空間]]<br />
* [[可縮空間]]<br />
<br />
=== 空間について定まる量 ===<br />
* [[基数関数]]<br />
* [[Krull次元]]<br />
* [[被覆次元]]<br />
* [[コホモロジー次元]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[ホモトピー群]]<br />
* [[特異コホモロジー群]]<br />
* [[K群]]<br />
* [[コボルディズム]]<br />
* [[楕円コホモロジー]]<br />
* [[一般コホモロジー]]<br />
<br />
=== 連続写像 ===<br />
<br />
* [[連続写像]]<br />
* [[同相]]<br />
* [[開写像]]<br />
* [[閉写像]]<br />
* [[埋め込み]]<br />
* [[固有写像]]<br />
* [[完全写像]]<br />
<br />
=== 具体例 ===<br />
<br />
==== 個別の空間の例 ====<br />
<br />
* [[n次元球面]]<br />
* [[射影空間]]<br />
** [[実射影空間]]<br />
** [[複素射影空間]]<br />
* [[レンズ空間]]<br />
* [[長い直線]]<br />
* [[くし空間]]<br />
* [[ハワイの耳飾り]]<br />
* [[Sorgenfrey直線]]<br />
* [[Hilbert立方体]]<br />
* [[Sierpinski空間]]<br />
<br />
==== 空間の例 ====<br />
* [[Suslin線]]<br />
* [[和田の湖]]<br />
<br />
==== 個別の写像の例 ====<br />
* [[Hopfファイブレーション]]<br />
* [[角付き球面]]<br />
<br />
==== 空間のクラス ====<br />
<br />
厳密な意味では位相空間ではないが、位相空間としてみなすことができるものについても含めている。<br />
<br />
* [[CW複体]]<br />
* [[距離空間]]<br />
* [[一様空間]]<br />
* [[位相多様体]]<br />
* [[PL多様体]]<br />
* [[絶対近傍レトラクト]]<br />
<br />
=== 空間の構成 ===<br />
* [[和空間]]<br />
* [[積空間]]<br />
* [[部分空間]]<br />
* [[商空間]]<br />
* [[コンパクト開位相|関数空間]]<br />
* [[ウェッジ和]]<br />
* [[スマッシュ積]]<br />
* [[$T_0$-商]]<br />
* [[Hausdorff商]]<br />
* [[Stone-Čechコンパクト化]]<br />
* [[箱積]]<br />
* [[G_δ-modification|$G_\delta$-modification]]<br />
<br />
=== 未分類 ===<br />
* [[構成可能位相]]<br />
* [[Postonikov tower]]<br />
<br />
== 定理 ==<br />
<br />
=== 基本的な定理 ===<br />
* [[Urysohnの補題]]<br />
* [[Tychonoffの定理]]<br />
* [[Tietzeの拡張定理]]<br />
* [[Dugundjiの拡張定理]]<br />
<br />
=== 距離化定理 ===<br />
* [[ゲージ化補題]]<br />
* [[長田-Smirnovの距離化定理]]<br />
<br />
== テキスト ==<br />
* [[入門テキスト「位相空間論」]]<br />
* [[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]<br />
* [[ネットによる位相空間論]]<br />
* [[フィルターによる位相空間論]]<br />
* [[コンパクト性とその周辺]]</div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%BA%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=6899
レンズ空間
2021-06-02T01:43:38Z
<p>ぱなむー: /* 定義から直ちに従うこと */</p>
<hr />
<div><noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--><br />
</noinclude><br />
== レンズ空間 ==<br />
'''レンズ空間（lens space)''' とは、基本的な $3$ 次元閉多様体の一つであり、ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。またはその一般化を含めてレンズ空間と呼ぶこともある。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
* ($3$ 次元)レンズ空間<br />
まず $(p,q)$ を互いに素な自然数の組($p\geq2,1\leq q<p$)とし、[[$n$次元球面|$3$ 次元球面]] $S^3$を $S^3\colon=\left\{(z_{1},z_{2})\in{\mathbb{C}}^2 \ \middle| \ |z_{1}|^2+|z_{2}|^{2}=1\right\}$ と ${\mathbb{C}}^2$ の部分空間と見なしておく。すると次のように $S^3$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を[[作用]] させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{3}\hspace{1mm}\times\hspace{1mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{4mm}&\to& \hspace{16mm}S^{3} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2qm\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を ${\rm L}(p;q):=S^{3}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q)$ レンズ空間'''と呼ぶ。<br />
またその他の記号として ${\rm L}(p,q)$ や、その一般化との整合性のため ${\rm L}(p;1,q)$、${\rm L}_{p}(1,q)$ などと書かれることもある。<br />
<br />
* 高次元レンズ空間<br />
同様の方法でより高次元の球に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用をさせることができる。<br />
まず $(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_n)$ を自然数の組であって、$p\geq 2$、どの $i$ についても $p$ と $1\leq q_{i}<p$ は互いに素であるとする。$(2n-1)$ 次元球面($n>2$)も同様に、$\displaystyle S^{2n-1}\colon=\left\{(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})\in{\mathbb{C}}^n \ \middle| \ \sum_{j=1}^{n}|z_{j}|^2=1\right\}$ として ${\mathbb{C}}^n$ の部分空間と見なしておく。すると同様に次のように $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{2n-1}\hspace{3mm}\times\hspace{2mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{5mm}&\to& \hspace{30mm}S^{2n-1} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2},\cdots,z_{n}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2q_{1}m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}m\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}m\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を ${\rm L}(p;q_{1},q_{2,}\cdots,q_{n}):=S^{2n-1}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ レンズ空間'''と呼ぶ。また他の記号として ${\rm L}_{p}(q_{1},q_{1},\cdots,q_{n})$ も使われることがある。<br />
<br />
*コメント:個人的に特にレンズっぽさは感じられないですね<br />
<br />
== 定義から直ちに従うこと ==<br />
*いずれの場合も作用は標準的球面距離に関して[[等長写像|等長]]かつ[[解析的]](または滑らか)な[[群作用|自由]]な[[群作用|固有不連続作用]]となっており、自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to {\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は $S^{2n-1}$ の[[単連結空間|単連結性]]から $p$ 次の[[被覆空間|普遍被覆写像]]であり、特に[[主$G$束|主$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$束]]となっている。この解析的(またはなめらか)な作用により ${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は解析的(またはなめらかな) 向きづけ可能 $(2n-1)$ 次元閉多様体になり球面距離から自然に[[距離空間|距離]]、[[リーマン計量]]が誘導される。<br />
<br />
* $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[自己同型群|自己同型写像]]を合成してから作用させても得られる空間は同じものであることがわかる。これは「 $p$ と互いに素な自然数 $r$ に対して、 ${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})={\rm L}(p;rq_{1},rq_{2},\cdots,rq_{n})$ と同一のものが得られる」という形で定式化される。また特に $n=2$ の時 ${\rm L}(p;q_{1},q_{n})$ を考えると、$q_{1}+p\mathbb{Z}$ は $p$ と $q_{1}$ が互いに素であるから $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ において乗法逆元を持つことに注意する。つまり、ある自然数 $r$ が存在し $rq_{1}\equiv 1 (\rm{mod} \ p)$ となるものが存在する。従って ${\rm L}(p;q_{1},q_{2})={\rm L}(p;rq_{1},rq_{2})={\rm L}(p;1,rq_{2})={\rm L}(p;rq_{2})$ と $3$ 次元の時の定義で十分であることがわかる。<br />
<br />
* 成分を入れ替えを考えることで微分同相なものが得られる。これは「置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ に対して ${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q_{\sigma(1)},q_{\sigma(2)},\cdots,q_{\sigma(n)})$ は $[(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})]\mapsto [(z_{\sigma(1)},z_{\sigma(2)},\cdots,z_{\sigma(n)})]$ によって自然に微分同相となる」という形で定式化される。$n=2$ の時、特に上の結果と合わせることで ${\rm L}(p;q)={\rm L}(p;1,q)={\rm L}(p;q^{-1},1)\cong {\rm L}(p;1,q^{-1})={\rm L}(p;q^{-1})$ を得る(ただし $q^{-1}$ は ${\rm mod} \ p$ における $q$ の乗法逆元である。)。<br />
<br />
* $p=2$ の時、 ${\rm L}(2;1,1,\cdots,1)$ は[[射影空間|実射影空間]] $\mathbb{R}P^{2n-1}$ となる。<br />
<br />
== 主な不変量の値 ==<br />
* [[基本群]] <br />
自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to {\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は普遍被覆であるからこの被覆変換群が基本群となり特に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と同型となる。特に $q_{i}$ によらず $\pi_1({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}),[(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})])\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ であり、その生成元は <br />
\begin{eqnarray}<br />
\large [0,1]&\to& \hspace{15mm}{\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}) \\<br />
t\hspace{3.5mm} &\mapsto& [(z_{1} e^{\frac{2q_{1}t\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}t\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}t\pi}{p}\sqrt{-1}})]<br />
\end{eqnarray}<br />
が表すループが代表元となる。<br />
<br />
* [[ホモトピー群]] <br />
[[弧状連結空間|弧状連結]]であるから $\pi_{0}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ は一点集合である。<br />
$i>1$ に対してはく[[ファイバー束]]の[[ホモトピー完全系列]]の特殊な場合として適用することで $\pi_{i}(S^{2n-1})\cong\pi_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であることがわかり本質的に[[球面のホモトピー群]]を求めることに帰着する。詳しくはそちらも参照されたい。<br />
<br />
* [[ホモロジー群]] <br />
整数係数のホモロジー群は $S^{2n-1}$ の [[CW複体]]の構造であって群作用で保たれるものを具体的に構成することによって計算することができる。もしくは $3$ 次元レンズ空間に対しては後述する[[Dehn手術]]、種数 $1$ の[[Heegaard分解]]と[[Mayer–Vietoris完全系列]]よっても計算できる。<br />
\begin{eqnarray}<br />
&H_{0}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z} \\<br />
&H_{1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\<br />
&H_{2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&\hspace{10mm}\vdots& {} \\<br />
&H_{2n-3}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ <br />
&H_{2n-2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H_{2n-1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z}\\<br />
&H_{i}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \ (i\geq 2n)\\<br />
\end{eqnarray}<br />
($0<i<2n-1$については $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と $\{0\}$ が交互に現れる。)<br />
<br />
* [[コホモロジー群]] <br />
整数係数コホモロジー群は[[Poincaré双対性]]によって $H^{j}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{(2n-1)-j}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ で計算でき次のようになる。<br />
\begin{eqnarray}<br />
&H^{0}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z} \\<br />
&H^{1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H^{2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\<br />
&\hspace{10mm}\vdots& {} \\<br />
&H^{2n-1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H^{2n-2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ <br />
&H^{2n-1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z}\\<br />
&H^{i}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \ (i\geq 2n)\\<br />
\end{eqnarray}<br />
($0<i<2n-1$については $\{0\}$ と $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ が交互に現れる。)<br />
<br />
== ホモトピー不変量とレンズ空間の分類 ==<br />
上のようにレンズ空間の代表的なホモトピー不変量は $p$ によって決まり $q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}$ によらない。異なる $q_i$ に対して[[ホモトピー|ホモトピー同値]]でないようなものが存在すればそれらは上のような不変量で見分けられないことがわかる。そして実際にそのようなものが存在する(後述)。([[Whiteheadの定理]]も参照されたい。)またレンズ空間についてはさまざまな分類が既になされている。<br />
<br />
*ホモトピー同値 [P. Olum]<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}q_{i}\equiv \pm\prod_{i=1}^{n}kq'_{i}\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相 [E. J. Brody]<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv \pm kq'_{\sigma(i)}\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
($\pm$ は $i$ に依存してよい。)<br />
<br />
*微分同相 (十分条件)<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が微分同相」 $\Longleftarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv kq'_{\sigma(i)}\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
<br />
*[[PL同相]] [W. Franz, G. de Rham]<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がPL同相」$\Longleftrightarrow$ 「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
*[[H-コボルディズム|H-コボルダント]] [M. F. Atiyah, R. Bott]<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がH-コボルダント」$\Longleftrightarrow$ 「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
またこれらを $3$ 次元の時にまとめると次のようになる。($3$ 次元多様体においては同相、微分同相、PL同相は互いに同値であることに注意されたい。)<br />
*ホモトピー同値<br />
「${\rm L}(p;q)$ と ${\rm L}(p';q')$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ q\equiv \pm k^2q'\ \ ({\rm mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ qq'\equiv \pm (kq')^2\ \ ({\rm mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k'$ が存在して$ qq'\equiv \pm {k'}^2\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相、微分同相、PL同相、H-コボルダント<br />
「${\rm L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ が同相、微分同相、PL同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して、 $(1\equiv\pm k1\land q\equiv\pm kq')\lor (1\equiv\pm kq'\land q\equiv\pm k1) \ \ ({\rm mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm q')\lor(1\equiv\pm qq')\ \ ({\rm mod}\ p)$」$\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm {q'}^{\pm 1})\ \ ({\rm mod}\ p)$ 」 (全て $\pm$ は独立)<br />
<br />
上記のホモトピー不変量とこれらの分類により、<br />
* ${\rm L}(2;1)$ と ${\rm L}(3;1)$ は基本群、ホモトピー群、(コ)ホモロジー群が異なりホモトピー同値でない。<br />
* ${\rm L}(5;1)$ と ${\rm L}(5;2)$ は基本群、ホモトピー群、(コ)ホモロジー群が一致するが、ホモトピー同値ではない。<br />
* ${\rm L}(7;1)$ と ${\rm L}(7;2)$ はホモトピー同値だが、同相、微分同相、PL同相、H-コボルダントでない。<br />
* ${\rm L}(7;2)$ と ${\rm L}(7;3)$ は同相、微分同相、PL同相、H-コボルダント。<br />
であることがわかる。<br />
<br />
== $3$ 次元レンズ空間と[[Dehn手術]]、種数 $1$ の[[Heegaard分解]] ==<br />
${\rm L}(p;q)$ は二つの[[ソリッドトーラス]]を境界で張り合わせることができる。具体的には二つのソリッドトーラスの一方に標準的な[[ロンジチュード]]、もう一方のソリッドトーラス上に傾き $\pm \frac{p}{q}$ で得られる閉曲線を設定しておく。この二つの直線を張り合わせるように境界を張り合わせると ${\rm L}(p;q)$ が得られる。これは逆に以下えれば $\rm{L}(p;q)$ の種数 $1$ のHeegard分解を与えている。これは同様にDehn手術によって言い換えることができる。$S^3$ 内の[[自明な結び目]]に沿った係数 $\pm \frac{p}{q}$ によるDehn手術によって ${\rm L}(p;q)$ が得られる。また $\pm \frac{p}{q}$ の[[連分数展開]]と[[スラムダンク操作]]を繰り返すことによって自明な結び目からなる鎖状の絡み目に沿った整数手術に書き換えることができる。具体的には $\frac{p}{q}$ の連分数展開を $[a_{0};a_1,a_{2},\cdots,a_{N}]$ とすると、自明な結び目からなる鎖状の $N+1$ 成分絡み目に端から順に係数 $a_{0},a_{1},\cdots,a_{N}$ としたものに書き換えることができる。(図を入れる。)<br />
<br />
== [[Eilenberg–MacLane空間]]としての無限次元レンズ空間 ==<br />
以下で定義される'''無限次元レンズ空間'''は[[離散群]] $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[分類空間]]、つまり $K(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},1)$ Eilenberg–MacLane空間になっている。主に二つの構成方法がある。<br />
$\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}$ を $p$ と互いに素な数の列($1\leq q_{i}<p$)としておく(ここで、数列の取り方は任意である)。<br />
*ここで $k<l$ に対して自然な包含写像 ${\rm L}(p,q_{1},q_{2},\cdots,q_{k})\hookrightarrow {\rm L}(p,q_{1},q_{2},\cdots,q_{l})$ が定まる。この[[帰納系]]によって無限次元レンズ空間 ${\rm L}(p;\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}})\colon=\underset{\underset{i\in\mathbb{N}}{\longrightarrow}}{\lim}{\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{i})$が定義され、同様に商写像について[[帰納極限]]を取ることで $\pi\colon\underset{\underset{i\in\mathbb{N}}{\longrightarrow}}{\lim}S^{2i-1}=\colon S^{\infty}\to {\rm L}(p,\{q_{i}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}})$ が定まりこの写像が $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の分類空間を与えている。<br />
<br />
*複素数からなる数列 $\{z_{i}\}_{i\in \mathbb{N}}$ であって有限個を除いた成分が全て $0$ であるようなもの全体の[[ベクトル空間]](このベクトル空間には $\displaystyle \|\{z_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}\|\colon=\sqrt{\left(\sum_{i=1}^{\infty}|z_{i}|^{2}\right)}$ で定まる[[ノルム]]によって位相を定めておく)を考えこの空間の単位球面、つまり $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}{|z_{i}|}^2=1$ 全体を $S^{\infty}$ で表すことにする。ここで $S^{\infty}$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を各成分ごとに $\large (\{z_{i}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}},m+p\mathbb{Z})\mapsto \{z_{i}e^{\frac{2q_{i}m\pi}{p}\sqrt{-1}}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}}$ として作用を入れる。これによる商空間および商写像を考えることができ、$\pi\colon S^{\infty} \to S^{\infty}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=\colon {\rm L}(p;\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}})$ が定まる。この写像が $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の分類空間を与えている。<br />
<br />
以上の構成において効いている性質は「無限次元球面は[[可縮空間|可縮]]である」ということである。またEilenberg–MacLane空間および分類空間のホモトピー一意性から、どのような数列をとってから構成しても互いにホモトピー同値となる。特に $\rm{L}(p;\{1\}_{i\in\mathbb{N}})$ を考えれば十分であり、このホモトピー同値の違いを除いて $p$ に対する無限次元レンズ空間を ${\rm L}_{p}^{\infty}$ などで表すことがある。<br />
また $p=2$ の時、${\rm L}_{2}^{\infty}$ は無限次元実射影空間 $\mathbb{R}P^{\infty}$ となる。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[$n$次元球面]]<br />
* [[射影空間]]<br />
* [[Dehn手術]]<br />
* [[Heegaard分解]]<br />
* [[ホモロジー群]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[Whiteheadの定理]]<br />
* [[Eilenberg–MacLane空間]]<br />
* [[分類空間]]<br />
<br />
====== 参考文献 ======<br />
<references /><br />
* Paul Olum, ''Mappings of Manifolds and the Notion of Degree'', [https://www.jstor.org/stable/1969748 Ann. of Math(2), Vol. 58, No. 3 (Nov., 1953), 458-480]<br />
* E. J. Brod, ''The Topological Classification of the Lens Spaces'', [https://www.jstor.org/stable/1969884 Ann. of Math(2) Vol. 71, No. 1 (Jan., 1960), 163-184]<br />
* Franz, W., ''Über die Torsion einer Überdeckung'' [https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crll.1935.173.245/html Journ. f. Math. 173, 245-254 (1935). ]<br />
* G. de Rham, ''Sur les nouveaux invariants topologiques de M. Reidemeister'', [http://www.mathnet.ru/links/be29aaba39a42788afab0cabc39dfd3b/sm5486.pdf Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S., 1936, Vol. 1(43), No. 5, 737–743]<br />
* M. F. Atiyah, R. Bott, ''A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: II. Applications'', [https://www.jstor.org/stable/1970721 Ann. of Math(2), Vol. 88, No. 3 (Nov., 1968), 451-491]</div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=$n$%E6%AC%A1%E5%85%83%E7%90%83%E9%9D%A2&diff=6898
$n$次元球面
2021-06-02T01:41:51Z
<p>ぱなむー: /* 関連項目 */</p>
<hr />
<div>[[Category:位相空間論]]<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--><br />
</noinclude><br />
== $n$ 次元球面 ==<br />
$n$ 次元球面（$n$ 球面、n-sphere)とは、円周や球面の高次元への一般化であって、幾何学において最も基本的な空間の一つである。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
非負整数 $n$ に対して、 $S^n\colon=\{x\in {\mathbb{R}}^{n+1}\mid \|x\|=1 \} \subset \mathbb{R}^{n+1}$<ref name="notation">記号 $S^n$ の $S$ の部分は手書きの際に縦線を入れて書かれる場合もある。</ref> に[[相対位相]]を入れた位相空間(またはそれと同相な位相空間)を'''$n$ 次元球面'''と呼ぶ。特に $S^1$ は'''円周'''、$S^2$ は単に'''球面'''とも呼ばれる。<br />
n次元球面 $S^n$ は $\mathbb{R}^{n+1}$ において自然に滑らかな(または解析的)[[部分多様体|閉部分多様体]]となる。これは[[ノルム]]の二乗を対応させる写像が滑らか(または解析的)((ユークリッド空間には標準的な微分構造(恒等写像によって局所座標が定まっている)が自然に仮定されていることに注意))であり$1$ はその写像の[[正則値]]であることから従う。詳しくは[[正則値定理]]を参照されたい。<br />
<br />
== 位相的性質 ==<br />
* 異なる $n$ に対して互いに[[同相]]でなく[[ホモトピー|ホモトピー同値]]でもない。<br />
* $S^n$ は $n$ 次元[[多様体の向き|向き付け可能]][[多様体]]で[[分離公理|Hausdorff]]である。<br />
* $S^n$ は[[ユークリッド空間]]の[[有界]][[閉集合]]であるから[[コンパクト空間|コンパクト]]である。<br />
* 正整数 $n$ に対して $S^n$ は[[連結空間|連結]]、またもっと強く[[弧状連結空間|弧状連結]]であるが $S^0$ は二点からなる離散空間であり連結でない。<br />
* 正整数 $n$ に対して $S^n$ は $\mathbb{R}^n$ の[[コンパクト化|一点コンパクト化]]と同相である。<br />
<br />
== 主な不変量の値 ==<br />
* [[ホモロジー群]] <br />
正整数 $n$ に対して整数係数特異[[ホモロジー群]]は $i=0,n$ に対してのみ $H_i(S^n;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$であり、その他の $i$ に対しては$H_i(S^n;\mathbb{Z})\cong \{0\}$となる。 $S^0$ は $i=0$ に対してのみ $H_i(S^0;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$であり、その他の $i$ に対しては $H_i(S^0;\mathbb{Z})\cong \{0\}$である。<br />
<br />
* [[コホモロジー群]] <br />
[[Poincaré双対性]]によって整数係数特異コホモロジー群と整数係数ホモロジー群は $H^i(S^n;\mathbb{Z})\cong H_{n-i}(S^n;\mathbb{Z})$ の関係をみたしこれによりコホモロジー群は、$i=0,n$ に対してのみ $H^i(S^n;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$であり、その他の $i$ に対しては$H^i(S^n;\mathbb{Z})\cong \{0\}$となる。 $S^0$ は $i=0$ に対してのみ $H^i(S^0;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$であり、その他の $i$ に対しては $H^i(S^0;\mathbb{Z})\cong \{0\}$であり、結果として(自然な対応ではないが) $H^i(S^n;\mathbb{Z})\cong H_i(S^n;\mathbb{Z})$ とホモロジー群と同型となる。<br />
<br />
* [[基本群]] <br />
正整数 $n$ に対して $S^n$ は弧状連結であるから基本群の同型類は基点の取り方によらない。$n=1$ の時のみ $\pi_1(S^n)\cong \mathbb{Z}$ であり $n>1$ に対しては $\pi_1(S^n)\cong \{0\}$、つまり[[単連結空間|単連結]]である。$n=0$ の時 $S^n$ は弧状連結でなかったから基点を選ぶ必要があるがどちらの点を基点としても基本群は自明となる。<br />
<br />
* [[ホモトピー群]] <br />
上に挙げたような[[不変量]] と異なり、今なお完全なリストは得られていない。詳しくは[[球面のホモトピー群]]を参照されたいがここでも特に重要な例をいくつか挙げる。$S^0$ はどの点を基点として取っても全てのホモトピー群は自明となる。正整数 $n$ に対して $\pi_n(S^n)\cong \mathbb{Z}$であり $0<i<n$ に対しては $\pi_i(S^n)\cong \{0\}$であり、これはつまり $S^n$ は [[$n$-連結空間|$(n-1)$-連結]] であるということである。また $S^1$ の高次のホモトピー群は自明となる。すなわち $i>1$ に対して $\pi_i(S^1)\cong \{0\}$ となる。これは[[被覆空間|普遍被覆]]の被覆写像 $p:\mathbb{R}\to S^1$ がホモトピー群の同型を誘導することと $\mathbb{R}$ が[[可縮空間|可縮]]でホモトピー群が自明になることより従う。<br />
また非自明でかつ最も単純な例として[[Hopfファイブレーション]] と[[ファイバー束]]の[[ホモトピー長完全系列]] によって得られる $\pi_3(S^2)\cong \mathbb{Z}$ がある。 <br />
<br />
== 微分トポロジー的性質 ==<br />
この項では $n$ は常に正整数であるとする。<br />
<br />
* 微分構造 <br />
一般に入る[[微分構造]]は一意ではないが球面の定義の項で与えたノルムの二乗により得られる微分構造を $S^n$ の標準的 (standard) な微分構造という。 実際例えば $S^7$ には少なくとも標準的な微分構造の他に[[微分同相]]でない $S^4$ 上の $S^3$ 束の構造からなる異なる微分構造の存在が知られている。標準的でない微分構造を備えた球面を'''エキゾチック球面'''(exotic sphere)と呼ぶ。どの次元の球面がエキゾチック球面になるか、またその時にどれだけお互い微分同相でない微分構造を持つかなどは現在も未解決である。少なくとも$S^1,S^2,S^3,S^5,S^6,S^{12},S^{56},S^{61}$ はエキゾチック球面の構造を持たないことが知られていて、$S^4$がどれだけ多くの微分構造を許容するかは現在も未解決である。<br />
<br />
* 接束 <br />
標準的な微分構造を備えた $S^n$ のうち[[接束]] $TS^n$が自明となるのは $n=1,3,7$ のみであることが知られている。(Bott-Milnor , Kervaire)。特に $TS^2$ は非自明な [[ベクトル束]] で自明な一次元部分束も許容しないことが知られている。しかしながら $S^n$ 上の自明な一次元ベクトル束 $\epsilon^1_{S^n}$ と[[Whitney和]] を取ることでベクトル束として自明となる。つまり $TS^n\oplus \epsilon_{S^n}^{1}$ は自明となる。これは $S^n\subset \mathbb{R}^{n+1}$ の埋め込みによって接束が $TS^n \oplus \nu =T \mathbb{R}^{n+1} |_{S^n}\cong\epsilon^{n+1}_{S^n}$ と分解することより従う。ただし $\nu$ は[[法束]]である。<br />
<br />
* [[Lie群]]構造 <br />
Lie群の接束は自明であるから、標準的 $S^n$ にLie群の構造が入るとすれば $n=1,3,7$ に限られる。実際に$S^1\cong \rm{U}(1)\cong \mathbb{R}/\mathbb{Z}$、$S^3\cong \rm{Sp}(1)\cong \rm{SU}(2)\cong\rm{Spin}(3)$ と具体的に与えられる。しかしながら $S^7$ にはLie群の構造が入らないことが知られている。これは[[多元体実現問題]]とも関連があり'''結合的な積'''がそなわるのは $2^0,2^1,2^2$次元のみであることと関連がある。ちなみに $2^0$ に対応するのは $S^0$ であり $\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ と同型で0次元Lie群として実現できる。<br />
<br />
* Lie群の[[等質空間]] としての構造 <br />
標準 $S^n$ には自然に $\rm{O}(n+1)$、$\rm{SO}(n+1)$ が[[作用]]しこの作用は滑らか(解析的)かつ[[推移的]]である。この作用により $S^n$ は $\rm{O}(n+1)$、$\rm{SO}(n+1)$の等質空間となる。実際にLie群の等質空間は元のLie群の商として得られ$S^n\cong \rm{O}(n+1) / \rm{O}(n)$、$S^n\cong \rm{SO}(n+1)/\rm{SO}(n)$ (こちらは自然に[[多様体の向き|向き]]が定まる)として 構成できる。また奇数次元 $S^{2n-1}$ に対しては $\mathbb{R}^{2n}$ を $\mathbb{C}^n$ と同一視することで $\rm{U}(n)$、$\rm{SU}(n)$ の等質空間、$S^{4n-1}$ に対しては $\mathbb{R}^{4n}$ を $\mathbb{H}^n$ と同一視することで $\rm{Sp}(n)$ の等質空間となる。(特殊)直交群の時と同様に $S^n$ は対応するLie群をさらに一つしたの次元のLie群で割ることで得られる。<br />
<br />
* [[複素構造]] <br />
[[複素多様体]]になり得るのは次元の制限によって偶数次元のみであるが、果たして $S^{2n}$ には複素構造が入るだろうか。実際には複素構造が入るものも入らないものも、また入るかそもそも未解決な物が存在する。例えば $S^2$ には複素構造が入り[[Riemann球面]]と呼ばれる複素多様体となる。対して$S^4 $は複素構造を持たないことが知られている。もっと強く $S^{4n}$ は[[特性類]]による制限で(具体的には[[Pontrjagin類|Pontrjagin数]]で)どれも複素構造が入らないことがわかる。したがって複素構造を許容するのは $S^{4n-2}$ の形のもののみであるが実際には $k\geq 4$ に対して $S^{2k}$ は複素構造を持たないどころか[[概複素構造]]さえ持たないということが知られている。したがって残るは $S^6$ のみであるが $S^6$ に複素構造が入るかはいまだに未解決(2021/2/9現在)である(概複素構造が入ることは知られている。)。<br />
<br />
== リーマン幾何学的性質 ==<br />
$2n$ 次元ユークリッド空間 $\mathbb{E}^{2n}$ の部分多様体としての $S^{2n+1}$ に $\mathbb{E}^{2n}$のユークリッド計量から定まる誘導計量を入れたものを $S^{2n+1}$ の標準的計量という。<br />
これは断面曲率が１の定曲率空間であり、完備単連結で断面曲率が１のものはこれに限る。<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* [https://amzn.to/3bGxqhx ミルナー・スタシェフ「特性類講義」]<br />
* [https://amzn.to/2FhGxZS ハーシュ「微分トポロジー」]<br />
* [https://amzn.to/3jVUTyb 小林・大島「リー群と表現論」]<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[位相幾何]]<br />
* [[射影空間]]<br />
* [[レンズ空間]]<br />
* [[Lie群]]<br />
* [[等質空間]]<br />
* [[微分構造]]<br />
* [[Hopfファイブレーション]]<br />
* [[接束]]<br />
* [[Riemann球面]]<br />
<br />
====== 脚注 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E5%B0%84%E5%BD%B1%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=6897
射影空間
2021-06-02T01:40:42Z
<p>ぱなむー: /* 一般的な定義 */</p>
<hr />
<div><noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--><br />
</noinclude><br />
== 射影空間 ==<br />
'''射影空間（projective space)''' とは、係数体(環)と次元によって定まる、幾何的に非常に重要な空間である。係数が有限体であるような射影空間は、組み合わせ論的な文脈においても重要な対象の一つである。<br />
このページにおいては一般的な射影空間の定義を述べる。個別のトピックについてはそれぞれのページを参照されたい。<br />
<br />
== 一般的な定義 ==<br />
* $K$ を(位相)[[体]]<ref name="Remark1">非可換([[斜体]])の場合は右作用、左作用が異なるので注意が必要である。</ref>（または(位相)[[環]]<ref name="Remark2">乗法単位元の存在は常に仮定する。非可換な場合は同様に注意が必要である。</ref>とする。）<br />
'''$n$ 次元 $K$ 射影空間''' $K{\rm P}^n$とは次で定義される[[集合]]および[[商位相]]を導入した[[位相空間]]である。<br />
$$<br />
K{\rm P}^n\colon=(K^{n+1}\setminus\{0\})/K^{\times}<br />
$$<br />
つまり、$K^{n+1}$ を自然に $K$ 上の[[ベクトル空間]](または[[自由加群]])と見なしそれをスカラー倍で割った集合および位相空間である。具体的には。$K^{n+1}\setminus\{0\}$ 上の[[関係、同値関係、商集合|同値関係]] $\sim$ を以下で定義し、その同値関係による商空間である。<br />
$$<br />
(a_0,a_1,\cdots,a_n)\sim(b_0,b_1,\cdots,b_n)\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}\exists k\in K^{\times} \ s.t. \ ({a_0}k,{a_1}k,\cdots,{a_n}k)=(b_0,b_1,\cdots,b_n)$$<br />
これは自然に $K^{n+1}$ 内の $1$ 次元線形部分空間全体と同一視できる。この解釈はのちに説明する[[グラスマン多様体]]として一般化される。<br />
<br />
== 重要な射影空間 ==<br />
特に $K=\mathbb{R},\mathbb{C}$ の時 $K{\rm P}^n$ は多様体となり幾何における基本的な対象の一つである。それぞれは個別のページを参照されたい。<br />
*[[実射影空間]]<br />
$K=\mathbb{R}$ の時、$\mathbb{R}{\rm P}^n$ は $n$ 次元のなめらかな(または解析的な)[[コンパクト空間|コンパクト]]多様体であり $n$ が偶数の時向きづけ不可能、奇数の時向きづけ可能となる。また無限次元実射影空間 $\mathbb{R}{\rm P}^{\infty}$ は $K(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},1)$ [[Eilenberg–MacLane空間]]であり $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の[[分類空間]] $B(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ となる。また[[レンズ空間]]の特別な場合($p=2$の時)としても現れる。<br />
<br />
*[[複素射影空間]]<br />
$K=\mathbb{C}$ の時、$\mathbb{C}{\rm P}^n$ は 自然に複素 $n$ 次元多様体になり、実 $2n$ 次元の向きづけられたなめらかな(または解析的な)[[コンパクト空間|コンパクト]]多様体である。また無限次元複素射影空間 $\mathbb{C}{\rm P}^{\infty}$ は $K(\mathbb{Z},2)$ [[Eilenberg–MacLane空間]]であり、さらに $1$次[[ユニタリ群]] ${\rm U}(1)$ の[[分類空間]] $B{\rm U}(1)$ となる。<br />
<br />
== 一般化 ==<br />
いくつか重要な一般化が存在する。詳しくはそれぞれの記事を参照されたい。<br />
<br />
射影空間 $\overset{\text{generalize}}{\longrightarrow}$ [[グラスマン多様体]] $\overset{\text{generalize}}{\longrightarrow}$ [[旗多様体]] $\overset{\text{generalize}}{\longrightarrow}$ [[旗多様体|一般化旗多様体]]<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[実射影空間]]<br />
* [[複素射影空間]]<br />
* [[グラスマン多様体]]<br />
* [[旗多様体]]<br />
* [[$n$次元球面]]<br />
* [[レンズ空間]]<br />
* [[Eilenberg–MacLane空間]]<br />
* [[分類空間]]<br />
<br />
<br />
<references /><br />
====== 参考文献 ======</div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E5%B0%84%E5%BD%B1%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=6867
射影空間
2021-06-01T01:12:53Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div><noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--><br />
</noinclude><br />
== 射影空間 ==<br />
'''射影空間（projective space)''' とは、係数体(環)と次元によって定まる、幾何的に非常に重要な空間である。係数が有限体であるような射影空間は、組み合わせ論的な文脈においても重要な対象の一つである。<br />
このページにおいては一般的な射影空間の定義を述べる。個別のトピックについてはそれぞれのページを参照されたい。<br />
<br />
== 一般的な定義 ==<br />
* $K$ を(位相)[[体]]<ref name="Remark1">非可換([[斜体]])の場合は右作用、左作用が異なるので注意が必要である。</ref>または(位相)[[環]]<ref name="Remark2">乗法単位元の存在は常に仮定する。非可換な場合は同様に注意が必要である。</ref>とする。<br />
'''$n$ 次元 $K$ 射影空間''' $K{\rm P}^n$とは次で定義される[[集合]]および[[商位相]]を導入した[[位相空間]]である。<br />
$$<br />
K{\rm P}^n\colon=(K^{n+1}\setminus\{0\})/K^{\times}<br />
$$<br />
つまり、$K^{n+1}$ を自然に $K$ 上の[[ベクトル空間]]と見なしそれをスカラー倍で割った集合および位相空間である。具体的には。$K^{n+1}\setminus\{0\}$ 上の[[関係、同値関係、商集合|同値関係]] $\sim$ を以下で定義し、その同値関係による商空間である。<br />
$$<br />
(a_0,a_1,\cdots,a_n)\sim(b_0,b_1,\cdots,b_n)\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}\exists k\in K^{\times} \ s.t. \ ({a_0}k,{a_1}k,\cdots,{a_n}k)=(b_0,b_1,\cdots,b_n)$$<br />
これは自然に $K^{n+1}$ 内の $1$ 次元線形部分空間全体と同一視できる。この解釈はのちに説明する[[グラスマン多様体]]として一般化される。<br />
<br />
== 重要な射影空間 ==<br />
特に $K=\mathbb{R},\mathbb{C}$ の時 $K{\rm P}^n$ は多様体となり幾何における基本的な対象の一つである。それぞれは個別のページを参照されたい。<br />
*[[実射影空間]]<br />
$K=\mathbb{R}$ の時、$\mathbb{R}{\rm P}^n$ は $n$ 次元のなめらかな(または解析的な)[[コンパクト空間|コンパクト]]多様体であり $n$ が偶数の時向きづけ不可能、奇数の時向きづけ可能となる。また無限次元実射影空間 $\mathbb{R}{\rm P}^{\infty}$ は $K(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},1)$ [[Eilenberg–MacLane空間]]であり $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の[[分類空間]] $B(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ となる。また[[レンズ空間]]の特別な場合($p=2$の時)としても現れる。<br />
<br />
*[[複素射影空間]]<br />
$K=\mathbb{C}$ の時、$\mathbb{C}{\rm P}^n$ は 自然に複素 $n$ 次元多様体になり、実 $2n$ 次元の向きづけられたなめらかな(または解析的な)[[コンパクト空間|コンパクト]]多様体である。また無限次元複素射影空間 $\mathbb{C}{\rm P}^{\infty}$ は $K(\mathbb{Z},2)$ [[Eilenberg–MacLane空間]]であり、さらに $1$次[[ユニタリ群]] ${\rm U}(1)$ の[[分類空間]] $B{\rm U}(1)$ となる。<br />
<br />
== 一般化 ==<br />
いくつか重要な一般化が存在する。詳しくはそれぞれの記事を参照されたい。<br />
<br />
射影空間 $\overset{\text{generalize}}{\longrightarrow}$ [[グラスマン多様体]] $\overset{\text{generalize}}{\longrightarrow}$ [[旗多様体]] $\overset{\text{generalize}}{\longrightarrow}$ [[旗多様体|一般化旗多様体]]<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[実射影空間]]<br />
* [[複素射影空間]]<br />
* [[グラスマン多様体]]<br />
* [[旗多様体]]<br />
* [[$n$次元球面]]<br />
* [[レンズ空間]]<br />
* [[Eilenberg–MacLane空間]]<br />
* [[分類空間]]<br />
<br />
<br />
<references /><br />
====== 参考文献 ======</div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E5%B0%84%E5%BD%B1%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=6823
射影空間
2021-05-31T05:20:29Z
<p>ぱなむー: /* 一般的な定義 */</p>
<hr />
<div><noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--><br />
</noinclude><br />
== 射影空間 ==<br />
'''射影空間（projective space)''' とはいくつかの重要な幾何的、組み合わせ的対象の一つである。<br />
このページにおいては一般的な射影空間の定義を述べる、個別のトピックについてはそれぞれのページを参照されたい。<br />
<br />
== 一般的な定義 ==<br />
* $K$ を(位相)[[体]]<ref name="Remark">非可換([[斜体]])の場合は右作用、左作用が異なるので注意が必要である。</ref>とする。<br />
'''$n$ 次元 $K$ 射影空間''' $K{\rm P}^n$とは次で定義される[[集合]]および[[商位相]]を導入した[[位相空間]]である。<br />
$$<br />
K{\rm P}^n\colon=(K^{n+1}\setminus\{0\})/K^{\times}<br />
$$<br />
つまり、$K^{n+1}$ を自然に $K$ 上の[[ベクトル空間]]と見なしそれをスカラー倍で割った集合および位相空間である。具体的には。$K^{n+1}\setminus\{0\}$ 上の[[関係、同値関係、商集合|同値関係]] $\sim$ を以下で定義し、その同値関係による商空間である。<br />
$$<br />
(a_0,a_1,\cdots,a_n)\sim(b_0,b_1,\cdots,b_n)\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}\exists k\in K^{\times} \ s.t. \ ({a_0}k,{a_1}k,\cdots,{a_n}k)=(b_0,b_1,\cdots,b_n)$$<br />
これは自然に $K^{n+1}$ 内の $1$ 次元線形部分空間全体と同一視できる。この解釈はのちに説明する[[グラスマン多様体]]として一般化される。<br />
<br />
== 重要な射影空間 ==<br />
特に $K=\mathbb{R},\mathbb{C}$ の時 $K{\rm P}^n$ は多様体となり幾何における基本的な対象の一つである。それぞれは個別のページを参照されたい。<br />
*[[実射影空間]]<br />
$K=\mathbb{R}$ の時、$\mathbb{R}{\rm P}^n$ は $n$ 次元のなめらかな(または解析的な)[[コンパクト]]多様体であり $n$ が偶数の時向きづけ不可能、奇数の時向きづけ可能となる。また無限次元実射影空間 $\mathbb{R}{\rm P}^{\infty}$ は $K(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},1)$ [[Eilenberg–MacLane空間]]であり $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の[[分類空間]] $B(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ となる。また[[レンズ空間]]の特別な場合($p=2$の時)としても現れる。<br />
<br />
*[[複素射影空間]]<br />
$K=\mathbb{C}$ の時、$\mathbb{C}{\rm P}^n$ は 自然に複素 $n$ 次元多様体になり、実 $2n$ 次元の向きづけられたなめらかな(または解析的な)[[コンパクト]]多様体である。また無限次元複素射影空間 $\mathbb{C}{\rm P}^{\infty}$ は $K(\mathbb{Z},2)$ [[Eilenberg–MacLane空間]]であり、さらに $1$次[[ユニタリ群]] ${\rm U}(1)$ の[[分類空間]] $B{\rm U}(1)$ となる。<br />
<br />
== 一般化 ==<br />
いくつか重要な一般化が存在する。詳しくはそれぞれの記事を参照されたい。<br />
<br />
射影空間 $\overset{\text{generalize}}{\longrightarrow}$ [[グラスマン多様体]] $\overset{\text{generalize}}{\longrightarrow}$ [[旗多様体]] $\overset{\text{generalize}}{\longrightarrow}$ [[旗多様体|一般化旗多様体]]<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[実射影空間]]<br />
* [[複素射影空間]]<br />
* [[グラスマン多様体]]<br />
* [[旗多様体]]<br />
* [[$n$次元球面]]<br />
* [[レンズ空間]]<br />
* [[Eilenberg–MacLane空間]]<br />
* [[分類空間]]<br />
<br />
====== 参考文献 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E5%B0%84%E5%BD%B1%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=6815
射影空間
2021-05-30T11:07:09Z
<p>ぱなむー: /* 射影空間 */</p>
<hr />
<div><noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--><br />
</noinclude><br />
== 射影空間 ==<br />
'''射影空間（projective space)''' とはいくつかの重要な幾何的、組み合わせ的対象の一つである。<br />
このページにおいては一般的な射影空間の定義を述べる、個別のトピックについてはそれぞれのページを参照されたい。<br />
<br />
== 一般的な定義 ==<br />
* $K$ を(位相)[[体]]<ref name="Remark">非可換([[斜体]])の場合は右作用、左作用が異なるので注意が必要である。</ref>とする。<br />
'''$n$ 次元 $K$ 射影空間''' $K{\rm P}^n$とは次で定義される[[集合]]および[[商位相]]を導入した[[位相空間]]である。<br />
$$<br />
K{\rm P}^n\colon=(K^{n+1}\setminus\{0\})/K^{\times}<br />
$$<br />
つまり、$K^{n+1}$ を自然に $K$ 上の[[ベクトル空間]]と見なしそれをスカラー倍で割った集合および位相空間である。具体的には。$K^{n+1}\setminus\{0\}$ 上の[[関係、同値関係、商集合|同値関係]] $\sim$ を以下で定義し、その同値関係による商空間である。<br />
$$<br />
(a_0,a_1,\cdots,a_n)\sim(a_0,a_1,\cdots,a_n)\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}\exists k\in K^{\times} s.t. \ ({a_0}k,{a_1}k,\cdots,{a_n}k)=(a_0,a_1,\cdots,a_n)$$<br />
これは自然に $K^{n+1}$ 内の $1$ 次元線形部分空間全体と同一視できる。この解釈はのちに説明する[[グラスマン多様体]]として一般化される。<br />
<br />
== 重要な射影空間 ==<br />
特に $K=\mathbb{R},\mathbb{C}$ の時 $K{\rm P}^n$ は多様体となり幾何における基本的な対象の一つである。それぞれは個別のページを参照されたい。<br />
*[[実射影空間]]<br />
$K=\mathbb{R}$ の時、$\mathbb{R}{\rm P}^n$ は $n$ 次元のなめらかな(または解析的な)[[コンパクト]]多様体であり $n$ が偶数の時向きづけ不可能、奇数の時向きづけ可能となる。また無限次元実射影空間 $\mathbb{R}{\rm P}^{\infty}$ は $K(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},1)$ [[Eilenberg–MacLane空間]]であり $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の[[分類空間]] $B(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ となる。また[[レンズ空間]]の特別な場合($p=2$の時)としても現れる。<br />
<br />
*[[複素射影空間]]<br />
$K=\mathbb{C}$ の時、$\mathbb{C}{\rm P}^n$ は 自然に複素 $n$ 次元多様体になり、実 $2n$ 次元の向きづけられたなめらかな(または解析的な)[[コンパクト]]多様体である。また無限次元複素射影空間 $\mathbb{C}{\rm P}^{\infty}$ は $K(\mathbb{Z},2)$ [[Eilenberg–MacLane空間]]であり、さらに $1$次[[ユニタリ群]] ${\rm U}(1)$ の[[分類空間]] $B{\rm U}(1)$ となる。<br />
<br />
== 一般化 ==<br />
いくつか重要な一般化が存在する。詳しくはそれぞれの記事を参照されたい。<br />
<br />
射影空間 $\overset{\text{generalize}}{\longrightarrow}$ [[グラスマン多様体]] $\overset{\text{generalize}}{\longrightarrow}$ [[旗多様体]] $\overset{\text{generalize}}{\longrightarrow}$ [[旗多様体|一般化旗多様体]]<br />
<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[実射影空間]]<br />
* [[複素射影空間]]<br />
* [[グラスマン多様体]]<br />
* [[旗多様体]]<br />
* [[$n$次元球面]]<br />
* [[レンズ空間]]<br />
* [[Eilenberg–MacLane空間]]<br />
* [[分類空間]]<br />
<br />
====== 参考文献 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E5%B0%84%E5%BD%B1%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=6814
射影空間
2021-05-30T11:03:14Z
<p>ぱなむー: ページの作成:「<noinclude> {{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--> </noinclude> == 射影空間 == '''射影空間（projective space)'''…」</p>
<hr />
<div><noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--><br />
</noinclude><br />
== 射影空間 ==<br />
'''射影空間（projective space)''' とはいくつかの重要な幾何的、組み合わせ的対象の一つである。<br />
このページにおいては一般的な射影空間の定義を述べ、その後それぞれ個別のページを参照されたい。<br />
<br />
== 一般的な定義 ==<br />
* $K$ を(位相)[[体]]<ref name="Remark">非可換([[斜体]])の場合は右作用、左作用が異なるので注意が必要である。</ref>とする。<br />
'''$n$ 次元 $K$ 射影空間''' $K{\rm P}^n$とは次で定義される[[集合]]および[[商位相]]を導入した[[位相空間]]である。<br />
$$<br />
K{\rm P}^n\colon=(K^{n+1}\setminus\{0\})/K^{\times}<br />
$$<br />
つまり、$K^{n+1}$ を自然に $K$ 上の[[ベクトル空間]]と見なしそれをスカラー倍で割った集合および位相空間である。具体的には。$K^{n+1}\setminus\{0\}$ 上の[[関係、同値関係、商集合|同値関係]] $\sim$ を以下で定義し、その同値関係による商空間である。<br />
$$<br />
(a_0,a_1,\cdots,a_n)\sim(a_0,a_1,\cdots,a_n)\overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow}\exists k\in K^{\times} s.t. \ ({a_0}k,{a_1}k,\cdots,{a_n}k)=(a_0,a_1,\cdots,a_n)$$<br />
これは自然に $K^{n+1}$ 内の $1$ 次元線形部分空間全体と同一視できる。この解釈はのちに説明する[[グラスマン多様体]]として一般化される。<br />
<br />
== 重要な射影空間 ==<br />
特に $K=\mathbb{R},\mathbb{C}$ の時 $K{\rm P}^n$ は多様体となり幾何における基本的な対象の一つである。それぞれは個別のページを参照されたい。<br />
*[[実射影空間]]<br />
$K=\mathbb{R}$ の時、$\mathbb{R}{\rm P}^n$ は $n$ 次元のなめらかな(または解析的な)[[コンパクト]]多様体であり $n$ が偶数の時向きづけ不可能、奇数の時向きづけ可能となる。また無限次元実射影空間 $\mathbb{R}{\rm P}^{\infty}$ は $K(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},1)$ [[Eilenberg–MacLane空間]]であり $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の[[分類空間]] $B(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$ となる。また[[レンズ空間]]の特別な場合($p=2$の時)としても現れる。<br />
<br />
*[[複素射影空間]]<br />
$K=\mathbb{C}$ の時、$\mathbb{C}{\rm P}^n$ は 自然に複素 $n$ 次元多様体になり、実 $2n$ 次元の向きづけられたなめらかな(または解析的な)[[コンパクト]]多様体である。また無限次元複素射影空間 $\mathbb{C}{\rm P}^{\infty}$ は $K(\mathbb{Z},2)$ [[Eilenberg–MacLane空間]]であり、さらに $1$次[[ユニタリ群]] ${\rm U}(1)$ の[[分類空間]] $B{\rm U}(1)$ となる。<br />
<br />
== 一般化 ==<br />
いくつか重要な一般化が存在する。詳しくはそれぞれの記事を参照されたい。<br />
<br />
射影空間 $\overset{\text{generalize}}{\longrightarrow}$ [[グラスマン多様体]] $\overset{\text{generalize}}{\longrightarrow}$ [[旗多様体]] $\overset{\text{generalize}}{\longrightarrow}$ [[旗多様体|一般化旗多様体]]<br />
<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[実射影空間]]<br />
* [[複素射影空間]]<br />
* [[グラスマン多様体]]<br />
* [[旗多様体]]<br />
* [[$n$次元球面]]<br />
* [[レンズ空間]]<br />
* [[Eilenberg–MacLane空間]]<br />
* [[分類空間]]<br />
<br />
====== 参考文献 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA:%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96&diff=6469
カテゴリ:位相空間論
2021-05-14T07:41:49Z
<p>ぱなむー: /* 個別の空間の例 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
== カテゴリ:位相空間論 ==<br />
このページでは[[位相空間論]]に関するMathpedia 内の記事を整理する。<br />
<br />
== 基礎 ==<br />
<br />
以下に述べる事項は位相空間論に関する、非常に基本的な概念である。<br />
<br />
* [[位相空間]]<br />
* [[閉包]]<br />
* [[内部]]<br />
* [[近傍]]<br />
* [[連続写像]]<br />
* [[分離公理]]<br />
* [[コンパクト空間]]<br />
* [[開基]]<br />
<br />
== 概念 ==<br />
<br />
=== 点 ===<br />
<br />
位相空間の点についての概念をリストアップする。<br />
<br />
* [[孤立点]]<br />
* [[閉点]]<br />
* [[特殊化]]<br />
* [[一般化]]<br />
<br />
=== 図形 ===<br />
<br />
位相空間の部分集合についての概念をリストアップする。<br />
<br />
* [[G_δ集合]]<br />
* [[F_σ集合]]<br />
* [[正則開集合]]<br />
* [[正則閉集合]]<br />
* [[導来集合]]<br />
* [[Borel集合]]<br />
<br />
=== 点列・ネットに関連する概念 ===<br />
* [[点列コンパクト空間]]<br />
<br />
=== 空間の性質 ===<br />
<br />
==== [[基数関数]]により特徴づけられる性質 ====<br />
<br />
* [[可分空間]]<br />
* [[第一可算空間]]<br />
* [[第二可算空間]]<br />
* [[Lindelöf空間]]<br />
* [[概Lindelöf空間]]<br />
* [[弱Lindelöf空間]]<br />
* [[c.c.c.空間]]<br />
<br />
==== 開被覆の細分により特徴づけられる性質 ====<br />
<br />
* [[コンパクト空間]]<br />
* [[Lindelöf空間]]<br />
* [[可算コンパクト空間]]<br />
* [[σコンパクト空間]]<br />
* [[メタコンパクト空間]]<br />
* [[パラコンパクト空間]]<br />
* [[強パラコンパクト空間]]<br />
* [[局所コンパクト空間]]<br />
<br />
==== 空間の分離性についての性質 ====<br />
<br />
* [[分離公理]]<br />
* [[sober空間]]<br />
<br />
==== 空間の連結性についての性質 ====<br />
* [[連結空間]]<br />
* [[連結空間|局所連結空間]]<br />
* [[弧状連結空間]]<br />
* [[弧状連結空間|局所弧状連結空間]]<br />
* [[単連結空間]]<br />
* [[単連結空間|局所単連結空間]]<br />
* [[半局所単連結空間]]<br />
* [[n-連結空間]]<br />
* [[n-連結空間|局所n-連結空間]]<br />
* [[完全不連結空間]]<br />
<br />
==== 未分類 ====<br />
* [[副有限空間]]<br />
* [[p空間]]<br />
* [[Σ空間]]<br />
* [[全体正規空間]]<br />
* [[実コンパクト空間]]<br />
* [[Čech完備空間]]<br />
* [[既約空間]]<br />
* [[可縮空間]]<br />
<br />
=== 空間について定まる量 ===<br />
* [[基数関数]]<br />
* [[Krull次元]]<br />
* [[被覆次元]]<br />
* [[コホモロジー次元]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[ホモトピー群]]<br />
* [[特異コホモロジー群]]<br />
* [[K群]]<br />
* [[コボルディズム]]<br />
* [[楕円コホモロジー]]<br />
* [[一般コホモロジー]]<br />
<br />
=== 連続写像 ===<br />
<br />
* [[連続写像]]<br />
* [[同相]]<br />
* [[開写像]]<br />
* [[閉写像]]<br />
* [[埋め込み]]<br />
* [[固有写像]]<br />
* [[完全写像]]<br />
<br />
=== 具体例 ===<br />
<br />
==== 個別の空間の例 ====<br />
<br />
* [[n次元球面]]<br />
* [[レンズ空間]]<br />
* [[長い直線]]<br />
* [[くし空間]]<br />
* [[ハワイの耳飾り]]<br />
* [[Sorgenfrey直線]]<br />
* [[Hilbert立方体]]<br />
* [[Sierpinski空間]]<br />
<br />
==== 空間の例 ====<br />
* [[Suslin線]]<br />
* [[和田の湖]]<br />
<br />
==== 個別の写像の例 ====<br />
* [[Hopfファイブレーション]]<br />
* [[角付き球面]]<br />
<br />
==== 空間のクラス ====<br />
<br />
厳密な意味では位相空間ではないが、位相空間としてみなすことができるものについても含めている。<br />
<br />
* [[CW複体]]<br />
* [[距離空間]]<br />
* [[一様空間]]<br />
* [[位相多様体]]<br />
* [[PL多様体]]<br />
* [[絶対近傍レトラクト]]<br />
<br />
=== 空間の構成 ===<br />
* [[和空間]]<br />
* [[積空間]]<br />
* [[部分空間]]<br />
* [[商空間]]<br />
* [[コンパクト開位相|関数空間]]<br />
* [[ウェッジ和]]<br />
* [[スマッシュ積]]<br />
* [[$T_0$-商]]<br />
* [[Hausdorff商]]<br />
* [[Stone-Čechコンパクト化]]<br />
* [[箱積]]<br />
* [[G_δ-modification|$G_\delta$-modification]]<br />
<br />
=== 未分類 ===<br />
* [[構成可能位相]]<br />
* [[Postonikov tower]]<br />
<br />
== 定理 ==<br />
<br />
=== 基本的な定理 ===<br />
* [[Urysohnの補題]]<br />
* [[Tychonoffの定理]]<br />
* [[Tietzeの拡張定理]]<br />
* [[Dugundjiの拡張定理]]<br />
<br />
=== 距離化定理 ===<br />
* [[ゲージ化補題]]<br />
* [[長田-Smirnovの距離化定理]]<br />
<br />
== テキスト ==<br />
* [[入門テキスト「位相空間論」]]<br />
* [[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]<br />
* [[ネットによる位相空間論]]<br />
* [[フィルターによる位相空間論]]<br />
* [[コンパクト性とその周辺]]</div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E6%9C%89%E9%99%90%E7%BE%A4%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E(%E4%BD%8D%E6%95%B01~100)&diff=6239
有限群の分類(位数1~100)
2021-05-10T12:11:47Z
<p>ぱなむー: /* 一覧 */</p>
<hr />
<div>[[Category:群論]]<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
== 位数1～100の有限群の分類 ==<br />
群の分類は、数学における問題のひとつである。その難しさには、群の構造自体が複雑多岐にわたるものであることや、今のところ分類がひとつの統一された手順によって進められていないこと、いくつもの要因が挙げられる。本稿においては、位数1以上位数100以下の有限群の構造を分類し、その証明を述べることを目標とする。<br />
<br />
OEIS (The On-line Encyclopedio of Integer Sequences) には、非負整数 $n$ について位数 $n$ の群の同型類の個数を並べた数列が提示されている。https://oeis.org/A000001 を参照されたい。<br />
<br />
== 凡例 ==<br />
* $C_n$: 位数 $n$ の[[巡回群]]<br />
* $D_n$: 位数 $n$ の[[二面体群]]<br />
* $Q_n$: 位数 $n$ の[[一般四元数群]]<br />
* $S_n$: $n$ 次の[[対称群]]<br />
* $A_n$: $n$ 次の[[交代群]]<br />
<br />
== 一覧 ==<br />
{| class="wikitable" style="text-align: center;"<br />
|-<br />
! 位数 !! 位数の素因数分解 !! 群の分類 !! 証明 !! 補足<br />
|-<br />
| 1 || $1$ || $C_1$ || 自明 ||<br />
|-<br />
| 2 || $2$ || $C_2$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| 3 || $3$ || $C_3$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] || $A_3$ と同型。<br />
|-<br />
| rowspan="2" | 4 || rowspan="2"| $2^2$ || $C_4$ || [[#位数 $p^2$ の群の分類|$p^2$]] ||<br />
|-<br />
|| $C_2\times C_2$ || [[#位数 $p^2$ の群の分類|$p^2$]] || 位数最小の非巡回群。（ [[Kleinの四元群|個別記事]] ）<br />
|-<br />
| 5 || $5$ || $C_5$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| rowspan="2" | 6 || rowspan="2" | $2\times 3$ || $C_6$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||<br />
|-<br />
| $S_3$ ||位数最小の非可換群。 $D_6$ と同型。（ [[3次の対称群|個別記事]] ）||<br />
|-<br />
| 7 || $7$ || $C_7$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| rowspan="5" | 8 || rowspan="5" | $2^3$ || $C_8$ || [https://www.youtube.com/watch?v=amXdtua6iLE 龍孫江さんの解説動画] ||<br />
|-<br />
| $C_2\times C_4$||||<br />
|-<br />
| $C_2\times C_2 \times C_2$|| ||<br />
|-<br />
| $D_8$ || ||<br />
|-<br />
| $Q_8$ || ||<br />
|-<br />
| rowspan="2" | 9 || rowspan="2" | $3^2$ || $C_9$ || [[#位数 $p^2$ の群の分類|$p^2$]] ||<br />
|-<br />
| $C_3\times C_3$ || [[#位数 $p^2$ の群の分類|$p^2$]] ||<br />
|-<br />
| rowspan="2" | 10 || rowspan="2" | $2\times 5$ || $C_{10}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||<br />
|-<br />
| $D_{10}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||<br />
|-<br />
| 11 || $11$ || $C_{11}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| rowspan="5" | 12 || rowspan="5" | $2^2\times 3$ || $Q_{12}$ || ||<br />
|-<br />
| $C_3 \times C_4$ || ||<br />
|-<br />
| $A_4$ || ||<br />
|-<br />
| $D_{12}$ || ||<br />
|-<br />
| $C_2 \times C_2 \times C_3$ || || <br />
|-<br />
| 13 || $13$ || $C_{13}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| rowspan="2" | 14 || rowspan="2" | $2\times 7$ || $C_{14}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||<br />
|-<br />
| $D_{14}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||<br />
|-<br />
| 15 || $3\times 5$ || $C_{15}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||<br />
|-<br />
|rowspan="14" | 16 || rowspan="14" | $2^4$ || $C_{16}$ || ||<br />
|-<br />
| $C_4 \times C_4$ || ||<br />
|-<br />
| $(C_2 \times C_2) \rtimes C_4$ || ||<br />
|-<br />
| $C_4 \rtimes C_4$ || ||<br />
|-<br />
| $C_8 \times C_2$ || ||<br />
|-<br />
| $C_8 \rtimes C_2$ || ||<br />
|-<br />
| $D_{16}$ || ||<br />
|-<br />
| $SD_{16}$ ||||<br />
|-<br />
| $Q_{16}$ ||||<br />
|-<br />
| $C_4 \times C_2 \times C_2$ ||||<br />
|-<br />
| $D_8 \times C_2$ ||||<br />
|-<br />
| $Q_8 \times C_2$ ||||<br />
|-<br />
| $(C_4 \times C_2) \rtimes C_2$ ||||<br />
|-<br />
| $C_2 \times C_2 \times C_2 \times C_2$ || ||<br />
|-<br />
| 17 || $17$ || $C_{17}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| rowspan="5" | 18 || rowspan="5" | $2\times 3^2$ || $D_{18}$ || ||<br />
|-<br />
| $C_9 \times C_2$ || || <br />
|-<br />
| $D_6 \times C_3$ || || <br />
|-<br />
| $(C_3 \times C_3) \rtimes C_2$ || || <br />
|-<br />
| $C_3 \times C_3 \times C_2$ || || <br />
|-<br />
| 19 || $19$ || $C_{19}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| 20 || $2^2\times 5$ || || ||<br />
|-<br />
| rowspan="2" | 21 || rowspan="2" | $3\times 7$ || $C_{21}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]], [[#位数 $21$ の群の分類|$21$]] ||<br />
|-<br />
| $C_{7}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$ || || <br />
|-<br />
| rowspan="2" | 22 || rowspan="2" | $2\times 11$ || $C_{22}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||<br />
|-<br />
| $D_{22}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] || <br />
|-<br />
| 23 || $23$ || $C_{23}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| 24 || $2^3\times 3$ || || ||<br />
|-<br />
| rowspan="2" | 25 || rowspan="2" | $5^2$ || $C_{25}$ || [[#位数 $p^2$ の群の分類|$p^2$]] ||<br />
|-<br />
| $C_5\times C_5$ || || <br />
|-<br />
| rowspan="2" | 26 || rowspan="2" | $2\times 13$ || $C_{26}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||<br />
|-<br />
| $D_{26}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] || <br />
|-<br />
| 27 || $3^3$ || || ||<br />
|-<br />
| 28 || $2^2\times 7$ || || ||<br />
|-<br />
| 29 || $29$ || $C_{29}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| 30 || $2\times 3\times 5$ || || ||<br />
|-<br />
| 31 || $31$ || $C_{31}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| 32 || $2^5$ || || ||<br />
|-<br />
| 33 || $3\times 11$ || $C_{33}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||<br />
|-<br />
| rowspan="2" | 34 || rowspan="2" | $2\times 17$ || $C_{34}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||<br />
|-<br />
| $D_{34}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] || <br />
|-<br />
| 35 || $5\times 7$ || $C_{35}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||<br />
|-<br />
| 36 || $2^2\times 3^2$ || || ||<br />
|-<br />
| 37 || $37$ || $C_{37}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| rowspan="2" | 38 || rowspan="2" | $2\times 19$ || $C_{38}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||<br />
|-<br />
| $D_{38}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] || <br />
|-<br />
| rowspan="2" | 39 || rowspan="2" | $3\times 13$ || $C_{39}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]],[[#位数 $39$ の群の分類|$39$]] ||<br />
|-<br />
| $C_{13}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$ || || <br />
|-<br />
| 40 || $2^3\times 5$ || || ||<br />
|-<br />
| 41 || $41$ || $C_{41}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| 42 || $2\times 3\times 7$ || || ||<br />
|-<br />
| 43 || $43$ || $C_{43}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| 44 || $2^2\times 11$ || || ||<br />
|-<br />
| 45 || $3^2\times 5$ || || ||<br />
|-<br />
| rowspan="2" | 46 || rowspan="2" | $2\times 23$ || $C_{46}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||<br />
|-<br />
| $D_{46}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] || <br />
|-<br />
| 47 || $47$ || $C_{47}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| 48 || $2^4\times 3$ || || ||<br />
|-<br />
| rowspan="2" | 49 || rowspan="2" | $7^2$ || $C_{49}$ || [[#位数 $p^2$ の群の分類|$p^2$]] ||<br />
|-<br />
| $C_7\times C_7$ || [[#位数 $p^2$ の群の分類|$p^2$]] ||<br />
|-<br />
| 50 || $2\times 5^2$ || || ||<br />
|-<br />
| 51 || $3\times 17$ || $C_{51}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||<br />
|-<br />
| 52 || $2^2\times 13$ || || ||<br />
|-<br />
| 53 || $53$ || $C_{53}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| 54 || $2\times 3^3$ || || ||<br />
|-<br />
| rowspan="2" | 55 || rowspan="2" | $5\times 11$ || $C_{55}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]], [[#位数 $55$ の群の分類|$55$]] ||<br />
|-<br />
| $C_{11}{\rtimes}_{\phi}C_{5}$ || || <br />
|-<br />
| 56 || $2^3 \times 7$ || || ||<br />
|-<br />
| rowspan="2" | 57 || rowspan="2" | $3\times 19$ || $C_{57}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]],[[#位数 $57$ の群の分類|$57$]] ||<br />
|-<br />
| $C_{19}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$ || || <br />
|-<br />
| rowspan="2" | 58 || rowspan="2" | $2\times 29$ || $C_{58}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||<br />
|-<br />
| $D_{58}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] || <br />
|-<br />
| 59 || $59$ || $C_{59}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| 60 || $2^2\times 3\times 5$ || || ||<br />
|-<br />
| 61 || $61$ || $C_{61}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| rowspan="2" | 62 || rowspan="2" | $2\times 31$ || $C_{62}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||<br />
|-<br />
| $D_{62}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] || <br />
|-<br />
| 63 || $3^2\times 7$ || || ||<br />
|-<br />
| 64 || $2^6$ || || ||<br />
|-<br />
| 65 || $5 \times 13$ || $C_{65}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||<br />
|-<br />
| 66 || $2\times 3\times 11$ || || ||<br />
|-<br />
| 67 || $67$ || $C_{67}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| 68 || $2^2\times 17$ || || ||<br />
|-<br />
| 69 || $3\times 23$ || $C_{69}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||<br />
|-<br />
| 70 || $2\times 5\times 7$ || || ||<br />
|-<br />
| 71 || $71$ || $C_{71}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| 72 || $2^3\times 3^2$ || || ||<br />
|-<br />
| 73 || $73$ || $C_{73}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| rowspan="2" | 74 || rowspan="2" | $2\times 37$ || $C_{74}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||<br />
|-<br />
| $D_{74}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] || <br />
|-<br />
| 75 || $3\times 5^2$ || || ||<br />
|-<br />
| 76 || $2^2\times 19$ || || ||<br />
|-<br />
| 77 || $7\times 11$ || $C_{77}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||<br />
|-<br />
| 78 || $2\times 3\times 13$ || || ||<br />
|-<br />
| 79 || $79$ || $C_{79}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| 80 || $2^4 \times 5$ || || ||<br />
|-<br />
| 81 || $3^4$ || || ||<br />
|-<br />
| rowspan="2" | 82 || rowspan="2" | $2\times 41$ || $C_{82}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||<br />
|-<br />
| $D_{82}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] || <br />
|-<br />
| 83 || $83$ || $C_{83}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| 84 || $2^2\times 3\times7$ || || ||<br />
|-<br />
| 85 || $5\times 17$ || $C_{85}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||<br />
|-<br />
| rowspan="2" | 86 || rowspan="2" | $2\times 43$ || $C_{86}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||<br />
|-<br />
| $D_{86}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] || <br />
|-<br />
| 87 || $3\times 29$ || $C_{87}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||<br />
|-<br />
| 88 || $2^3\times 11$ || || ||<br />
|-<br />
| 89 || $89$ || $C_{89}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| 90 || $2\times 3^2\times 5$ || || ||<br />
|-<br />
| 91 || $7 \times 13$ || $C_{91}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||<br />
|-<br />
| 92 || $2^2\times 23$ || || ||<br />
|-<br />
| rowspan="2" | 93 || rowspan="2" | $3\times 31$ || $C_{93}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]],[[#位数 $93$ の群の分類|$93$]] ||<br />
|-<br />
| $C_{31}{\rtimes}_{\phi}C_{3}$ || || <br />
|-<br />
| rowspan="2" | 94 || rowspan="2" | $2\times 47$ || $C_{94}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] ||<br />
|-<br />
| $D_{94}$ || [[#位数 $2p$ の群の分類|$2p$]] || <br />
|-<br />
| 95 || $5\times 19$ || $C_{95}$ || [[#位数 $pq$ の群の分類|$pq$]] ||<br />
|-<br />
| 96 || $2^5\times 3$ || || ||<br />
|-<br />
| 97 || $97$ || $C_{97}$ || [[#位数 $p$ の群の分類|$p$]] ||<br />
|-<br />
| 98 || $2\times 7^2$ || || ||<br />
|-<br />
| 99 || $3^2 \times 11$ || || ||<br />
|-<br />
| 100 || $2^2\times 5^2$ || || ||<br />
|}<br />
<br />
== 分類に使用する定理 ==<br />
=== Lagrangeの定理 ===<br />
[[Lagrangeの定理]]を参照。<br />
=== Sylowの定理 ===<br />
[[Sylowの定理]]を参照。<br />
=== 有限アーベル群の基本定理 ===<br />
[[有限アーベル群の基本定理]]を参照。<br />
<br />
== 特定の形の位数のケースの分類 ==<br />
<br />
=== 位数 $p$ の群の分類 ===<br />
$p$を素数とする。有限群$G$の位数が$p$であったとき、$G$の元$g \in G$についてLagrangeの定理により$g$の位数は$1$または$p$である。よって、$1 \neq g \in G$をひとつ固定すると、任意の$h \in G$はある整数$0 \leq i < p$によって$h=g^i$と表すことができる。よって、$G$は巡回群$C_p$と同型である。<br />
<br />
=== 位数 $p^2$ の群の分類 ===<br />
$p$ を素数とすると、位数 $p^2$ の群 $G$ は $C_{p^2}$ または $C_p\times C_p$ と同型である。<br />
<br />
''証明''<br />
<br />
$G$ がアーベル群とすると、有限アーベル群の基本定理より $C_{p^2}$ または $C_p\times C_p$ と同型である。以下、 $G$ がアーベル群に限ることを示す。<br />
<br />
Lagrangeの定理から $G$ の部分群および商群の位数は $1,p,p^2$ のいずれかである。$G$ が非アーベルならば中心 $Z(G)$ による商群 $G/Z(G)$ は巡回群にならないので、 $\#(G/Z(G))=p^2$ でなければいけない。したがって、 $\#Z(G)=1$ となる。一方、 $G$ は $p$-群であることから $Z(G)$ は自明群にはなりえないのでこれは不可能。ゆえに、 $G$ はアーベル群に限る。<br />
<br />
<!-- $p$を素数とする。有限群$G$の位数が$p^2$であったとき、$G$の元$g \in G$についてLagrangeの定理により$g$の位数は$1$または$p$または$p^2$である。<br />
<!-- よって群$G$は$p$-群であり、中心$\mathop{\mathrm{Z}}(G)$は非自明であることが分かる。 --><br />
<!-- $g$として$G$を生成するものが取れる場合については、$g$を巡回群$C_{p^2}$の生成元に写す写像が群同型を与える。 --><br />
<!-- $g$として$G$を生成するものが取れない場合については、$1$でない中心の元$g$を一つとる。 --><br />
<!-- $g$の取り方より生成する部分群$\langle g \rangle$は位数が$1$でも$p^2$でもないため$p$であることが分かり、この部分群に含まれない$G$の元$h$が存在する。 --><br />
<!-- この$h$を取る。 --><br />
<!-- ここで$\langle g, h \rangle$は$\langle g \rangle$を真に含む$G$の部分群であるから位数は$p$より真に大きく、最初の注意より$p^2$でなければならない。 --><br />
<!-- よって$\langle g, h \rangle=G$が成立する。 --><br />
<!-- ここで$g$は$G$の中心$\mathop{\mathrm{Z}}(G)$の元であったことを思い出すと$h$と可換であり、 --><br />
<!-- $G$は互いに可換な生成系$\{g,h\}$を持つので可換である。 --><br />
<!-- このことに注意して$G=\langle g \rangle \times \langle h \rangle \cong C_p\times C_p$が成立することを示す(この結果は、有限生成アーベル群の基本定理を認めれば直ちに従う)。 --><br />
<!-- 二つ目の同型は$g$および$h$の位数が$p$であることより分かる。 --><br />
<!-- 一つ目の等号は、内部直積であることを示せばよく、$G$が可換であるから$\langle g \rangle\cap\langle h \rangle =\{1\}$を示せば十分である。 --><br />
<!-- 部分群の交叉は部分群であることに注意すると、$\langle g \rangle\cap\langle h \rangle$の位数は$1$か$p$である。 --><br />
<!-- $p$と仮定すると、$\langle g \rangle\cap\langle h \rangle\subset\langle g \rangle$が成立することと$\langle g \rangle$の位数が$p$であることとより両者は一致し、$\langle g \rangle=\langle h \rangle$を得る。 --><br />
<!-- これは$h$の取り方に矛盾する。 --><br />
<!-- --><br />
<!-- 以上より位数$p^2$の群$G$は$C_{p^2}$または$C_p\times C_p$と同型である。 --><br />
<br />
=== 位数 $2p$ の群の分類 ===<br />
$p$を奇素数とし、$G$を位数$2p$の有限群とする。このときSylowの定理により、位数$p$の正規部分群$H$が存在する。$H$を生成する元をひとつ固定して、これを$g$とおく。ここで、位数$2$の元$t \in G$はSylowの定理により存在するため、これを任意にひとつ固定すると、ある整数$0 \leq i < p$によって$t^{-1}gt=g^i$と表せる。<br />
<br />
このとき$t^{-1}=t$であることに注意する。$tg=t^{-1}g=g^it$より、$g=t^{-1}g^it=(t^{-1}gt)^i=g^{i^2}$が成り立つ。$g$の位数は$p$であったため、$i=1$または$i=p-1$が成り立つ。$i=1$の場合群$G$は$C_{2p}$に同型であり、$i=p-1$の場合群$G$は$D_{2p}$と同型である。<br />
<br />
=== 位数 $pq$ の群の分類 ===<br />
$q<p$ を素数とする。この時位数$pq$の群は<br />
* $p\neq 1 $ mod $q$ の時 $C_{pq}$ と同型<br />
* $p=1$ mod $q$ の時 $C_{pq}$ の他に非自明な半直積が存在し位数 $pq$ の[[フロベニウス群]]のどちらかと同型となる。<br />
<br />
龍孫江氏による動画解説は[https://www.youtube.com/watch?v=ItSqqnKiZNY こちら]。<br />
<br />
==== 位数 $21$ の群の分類 ====<br />
非自明な $\phi :\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})\cong C_{6}, \phi(1):n\mapsto 2n \in \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})$ による半直積が存在する。これは書き下せば $(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ 上の演算を $(n_1,m_1)\cdot(n_2,m_2):=(n_1+n_2\cdot 2^{m_1},m_1+m_2)$ と定義することにより得られる。<br />
<br />
作用は $\phi(1):n\mapsto n,2n,4n$ の3種類が存在するが、恒等写像は直積に、 $2n,4n$ は互いに同型な半直積になる。<br />
<br />
==== 位数 $39$ の群の分類 ====<br />
非自明な $\phi :\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})\cong C_{12}, \phi(1):n\mapsto 3n \in \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})$ による半直積が存在する。これは書き下せば $(\mathbb{Z}/13\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ 上の演算を $(n_1,m_1)\cdot(n_2,m_2):=(n_1+n_2\cdot 3^{m_1},m_1+m_2)$ と定義することにより得られる。<br />
<br />
作用は $\phi(1):n\mapsto n,3n,9n$ の3種類が存在するが、恒等写像は直積に、 残りは互いに同型な半直積になる。<br />
<br />
==== 位数 $55$ の群の分類 ====<br />
非自明な $\phi :\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}\to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})\cong C_{10}, \phi(1):n\mapsto 4n \in \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})$ による半直積が存在する。これは書き下せば $(\mathbb{Z}/11\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})$ 上の演算を $(n_1,m_1)\cdot(n_2,m_2):=(n_1+n_2\cdot 4^{m_1},m_1+m_2)$ と定義することにより得られる。<br />
<br />
作用は $\phi(1):n\mapsto n,4n,5n,9n,3n$ の5種類が存在するが、恒等写像は直積に、 残りは互いに同型な半直積になる。<br />
<br />
==== 位数 $57$ の群の分類 ====<br />
非自明な $\phi :\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/19\mathbb{Z})\cong C_{18}, \phi(1):n\mapsto 7n \in \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/19\mathbb{Z})$ による半直積が存在する。これは書き下せば $(\mathbb{Z}/19\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ 上の演算を $(n_1,m_1)\cdot(n_2,m_2):=(n_1+n_2\cdot 7^{m_1},m_1+m_2)$ と定義することにより得られる。<br />
<br />
作用は $\phi(1):n\mapsto n,7n,11n$ の3種類が存在するが、恒等写像は直積に、 残りは互いに同型な半直積になる。<br />
<br />
==== 位数 $93$ の群の分類 ====<br />
非自明な $\phi :\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}\to \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/31\mathbb{Z})\cong C_{30}, \phi(1):n\mapsto 5n \in \mathrm{Aut}(\mathbb{Z}/31\mathbb{Z})$ による半直積が存在する。これは書き下せば $(\mathbb{Z}/31\mathbb{Z})\times (\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$ 上の演算を $(n_1,m_1)\cdot(n_2,m_2):=(n_1+n_2\cdot 5^{m_1},m_1+m_2)$ と定義することにより得られる。<br />
<br />
作用は $\phi(1):n\mapsto n,5n,25n$ の3種類が存在するが、恒等写像は直積に、 残りは互いに同型な半直積になる。<br />
<br />
<!-- == 個別の位数の群の分類 == --><br />
<br />
<!-- ** 位数$4$の群の分類 p^2の場合で十分なので一旦コメントアウト --><br />
<!-- 位数$4$の群$G$について、Lagrangeの定理により、その元の位数は$1$,$2$,$4$のいずれかである。ある元$g \in G$が位数$4$を持つとき、任意の$h \in G$はある整数$0 \leq i < 4$によって$h=g^i$と表すことができるため、群$G$は巡回群$C_4$と同型となる。 --><br />
<!-- --><br />
<!-- 位数$4$の元を持たないとき、すべての元の位数は$1$または$2$である。群$G$の元を$1,a,b,c$と表記すると、以下が成り立つ。 --><br />
<!-- --><br />
<!-- - $1 \cdot 1 = 1$ --><br />
<!-- - $1 \cdot a = a$ --><br />
<!-- - $1 \cdot b = b$ --><br />
<!-- - $1 \cdot c = c$ --><br />
<!-- - $a \cdot 1 = a$ --><br />
<!-- - $a \cdot a = 1$ --><br />
<!-- - $b \cdot 1 = b$ --><br />
<!-- - $b \cdot b = 1$ --><br />
<!-- - $c \cdot 1 = c$ --><br />
<!-- - $c \cdot c = 1$ --><br />
<!-- --><br />
<!-- このとき、$a \cdot b$について、$a \cdot 1$, $a \cdot a$, $1 \cdot b$, $b \cdot b$とは異なる値を取る必要があるため、$a \cdot b = c$がわかる。同様の手順により、以下が成り立つ。 --><br />
<!-- --><br />
<!-- - $1 \cdot 1 = 1$ --><br />
<!-- - $1 \cdot a = a$ --><br />
<!-- - $1 \cdot b = b$ --><br />
<!-- - $1 \cdot c = c$ --><br />
<!-- - $a \cdot 1 = a$ --><br />
<!-- - $a \cdot a = 1$ --><br />
<!-- - $a \cdot b = c$ --><br />
<!-- - $a \cdot c = b$ --><br />
<!-- - $b \cdot 1 = b$ --><br />
<!-- - $b \cdot a = c$ --><br />
<!-- - $b \cdot b = 1$ --><br />
<!-- - $b \cdot c = a$ --><br />
<!-- - $c \cdot 1 = c$ --><br />
<!-- - $c \cdot a = b$ --><br />
<!-- - $c \cdot b = a$ --><br />
<!-- - $c \cdot c = 1$ --><br />
<!-- --><br />
<!-- このとき、この群は$C_2\times C_2$と同型である。 --><br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
*[[群論]]</div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%94%B1%E7%A9%8D&diff=6193
自由積
2021-05-10T06:51:35Z
<p>ぱなむー: /* 具体例 */</p>
<hr />
<div>== 自由積 ==<br />
自由積(free product)とは二つの群から新たな群を得る対応で[[基本群]]との相性が良い。[[群の圏]]における[[余積]]になっている。<ref name="remark1">[[アーベル群の圏]]における[[余積]]は自由積ではなく[[アーベル群]]の[[直和]]であることに注意。</ref><br />
<br />
<br />
== 群の圏において ==<br />
二つの[[群]] $G,H$ の'''自由積'''とは $G\ast H$で表される群で、これは群の圏における[[余積]]であり普遍性から存在すれば同型を除いて一意である。また実際にそのような群はいつでも存在する。自由積をとる操作は自然な同型を除いて単位的、結合的、可換な操作である。<br />
[[集合の圏]]などにおいて余積は非交和として現れるが群の和集合は一般に群にならないように自由積は多少複雑で一般に大きな群となる。また自由積は2つだけなく任意個の群の自由積も定義することができる。<br />
(図式はあとで書く)<br />
また自由積は群の圏での[[押し出し]]である[[融合積]]の特殊な場合でもある。<br />
<br />
== 直接の定義 ==<br />
余積の普遍性から存在すれば同型を除いて一意的に存在する。このような群の構成は'''語と簡約'''によって得られることが知られており、書籍によってはこの構成をもって自由積と呼ぶこともある。<br />
<br />
=== 語の定義と ===<br />
まず二つの群 $(G,e_{G}),(H,e_{H})$<ref name="remark2"> 単位元 $e$ に添字を付けているのは和集合をとった際にどの群の単位元か見分けるため便宜的に付けている。</ref>に対して $G\sqcup H$ の有限列全体を $W$ で表すこととする。([[形式言語]]も参照されたい。ここでは語は"(",")"を用いて扱うこととする。) $W$ の元を'''語'''(word)と呼ぶ。2つの語に対してそれらをそのまま並べて新たな語を定義する'''連接'''と呼ばれる演算が入り $W$ は[[モノイド]]なる<br />
<br />
一般の群の族 $\{(G,e_{G_\lambda})\}_{\lambda\in\Lambda}$ に対しても<ref name="remark3">$0$個の自由積もこの定義が適用できることに注意。これは空語のみからなる自明群となる。</ref> $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda$ の有限列全体を $W$ としてそれらの連接を考えれば同様に $W$ はモノイドとなる。([[モノイド|自由モノイド]]も参照されたい。)<br />
<br />
=== 簡約(縮約) ===<br />
上で定義されたモノイド $W$ 上に[[関係、同値関係、商集合|同値関係]]を入れることによって群にする。同値関係 $\sim$ は次で生成される。<br />
* $a_i$ がある群の単位元であるとき $(a_1,\cdots, a_{i-1}, a_{i}, a_{i+1} ,\cdots ,a_{n}) \sim (a_1,\cdots ,a_{i-1}, a_{i+1},\cdots a_{n})$<br />
* $b_{j},b_{j+1}$ が同じ群に属しているとき $(b_1,\cdots, b_{j}, b_{j+1},\cdots, b_{m}) \sim (b_1,\cdots ,(b_{j}b_{j+1}), \cdots ,b_{m})$<br />
~以上によって $W/\sim$ は連接によって[[well-defined]]な演算を定めこれは群をなす。実はこれが求めていた自由積の実現の一つである。なお余積を定めるそれぞれの群から射はその群の元をその文字のみからなる長さが $1$ の語の類に対応させることにより得られる。<br />
<br />
== 群の表示が与えられていたとき ==<br />
群の表示が与えられているときはより簡潔に自由積を表すことができる。<br />
$G_\lambda\cong\langle X_\lambda\mid R_\lambda\rangle$ により得られているとき。それらの自由積は<br />
$$\underset{\lambda\in\Lambda}{\ast}G_\lambda\cong\langle\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda\mid\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}R_\lambda\rangle$$<br />
と表すことができる。これはただ生成元と関係式を合わせたもので余計な関係式が入っていない。この余計な関係式が入っていないことが普遍性を満たすことの要因となっている。<br />
<br />
== [[可換化]] ==<br />
自由積の可換化は可換化したものの直和と自然に同型となる。具体的には<br />
$$<br />
(G\ast H)^{ab}\cong G^{ab}\oplus H^{ab}<br />
$$<br />
を満たす。これより一般に無限個の自由積においても成り立つ。具体的には<br />
$$<br />
\left(\underset{\lambda\in\Lambda}{\ast}G_\lambda\right)^{ab}\cong\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}^{ab}<br />
$$<br />
を満たす。<br />
<br />
== 具体例 ==<br />
* [[自明群]]との自由積は同型を除いて変化しない。(自明群は自由積に関する単位的な対象となる。)<br />
* $n$ 個の $\mathbb{Z}$ の自由積はランク $n$ の自由群 $F_n$ と同型となる。特に $F_n\ast F_m\cong F_{n+m}$である。<br />
* $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong \langle a,b\mid a^2,b^2\rangle \cong \langle f_a(x)\colon=-x , f_b(x)\colon=2-x \rangle \subset {\rm Isom}(\mathbb{R})$これは[[コクセター群]]である。特にこれは非自明な群同士の自由積は無限群となることの一例となっている。<br />
* 非自明かつ有名な例として$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\cong \langle a,b\mid a^2,b^3\rangle\cong {\rm PSL}(2,\mathbb{Z})\colon={\rm SL}(2,\mathbb{Z})/\{\pm I\}$ がある。<br />
これは $a$ を <br />
$\left[ \begin{array}{cc}<br />
1 & 1 \\<br />
0 & 1<br />
\end{array} \right]$ に、<br />
$b$ を <br />
$\left[ \begin{array}{cc}<br />
0 & -1 \\<br />
1 & 0<br />
\end{array} \right]$ に対応させることで同型が実現される。<br />
<br />
また、自由積による表示と上の可換化との関係を用いることで $\rm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ の可換化が <br />
$$<br />
\left({\rm PSL}(2,\mathbb{Z})\right)^{ab} \cong ((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}))^{ab} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{ab}\oplus(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^{ab} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\oplus(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) \cong\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}<br />
$$<br />
と位数$6$の[[巡回群]]であることがわかる。<br />
<br />
== [[基本群]]との関係 ==<br />
自由積は基本群との相性が良い。点つき空間の[[ウェッジ和]]の基本群は点つき空間の基本群の自由積となる。正しく書けば。弧状連結な点つき空間の族 $\{X_i,x_i\}_{i\in I}$に対して<br />
$$\pi_{1}\left(\bigvee_{i\in I}(X_i,x_i)\right)\cong \underset{i\in I}{\ast} \pi_1(X_i,x_i)$$<br />
を満たす。これはウェッジ和は点つき空間の圏の余積であったから $\pi_1$ 関手は(この条件のもとで)余積を保つ関手である。<br />
このことは[[Van Kampenの定理]]と[[融合積]]の特殊な場合として得られる。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[群の表示]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[融合積]]<br />
* [[Van Kampenの定理]]<br />
<br />
====== 脚注 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%94%B1%E7%A9%8D&diff=6192
自由積
2021-05-10T06:46:39Z
<p>ぱなむー: /* 語の定義と */</p>
<hr />
<div>== 自由積 ==<br />
自由積(free product)とは二つの群から新たな群を得る対応で[[基本群]]との相性が良い。[[群の圏]]における[[余積]]になっている。<ref name="remark1">[[アーベル群の圏]]における[[余積]]は自由積ではなく[[アーベル群]]の[[直和]]であることに注意。</ref><br />
<br />
<br />
== 群の圏において ==<br />
二つの[[群]] $G,H$ の'''自由積'''とは $G\ast H$で表される群で、これは群の圏における[[余積]]であり普遍性から存在すれば同型を除いて一意である。また実際にそのような群はいつでも存在する。自由積をとる操作は自然な同型を除いて単位的、結合的、可換な操作である。<br />
[[集合の圏]]などにおいて余積は非交和として現れるが群の和集合は一般に群にならないように自由積は多少複雑で一般に大きな群となる。また自由積は2つだけなく任意個の群の自由積も定義することができる。<br />
(図式はあとで書く)<br />
また自由積は群の圏での[[押し出し]]である[[融合積]]の特殊な場合でもある。<br />
<br />
== 直接の定義 ==<br />
余積の普遍性から存在すれば同型を除いて一意的に存在する。このような群の構成は'''語と簡約'''によって得られることが知られており、書籍によってはこの構成をもって自由積と呼ぶこともある。<br />
<br />
=== 語の定義と ===<br />
まず二つの群 $(G,e_{G}),(H,e_{H})$<ref name="remark2"> 単位元 $e$ に添字を付けているのは和集合をとった際にどの群の単位元か見分けるため便宜的に付けている。</ref>に対して $G\sqcup H$ の有限列全体を $W$ で表すこととする。([[形式言語]]も参照されたい。ここでは語は"(",")"を用いて扱うこととする。) $W$ の元を'''語'''(word)と呼ぶ。2つの語に対してそれらをそのまま並べて新たな語を定義する'''連接'''と呼ばれる演算が入り $W$ は[[モノイド]]なる<br />
<br />
一般の群の族 $\{(G,e_{G_\lambda})\}_{\lambda\in\Lambda}$ に対しても<ref name="remark3">$0$個の自由積もこの定義が適用できることに注意。これは空語のみからなる自明群となる。</ref> $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda$ の有限列全体を $W$ としてそれらの連接を考えれば同様に $W$ はモノイドとなる。([[モノイド|自由モノイド]]も参照されたい。)<br />
<br />
=== 簡約(縮約) ===<br />
上で定義されたモノイド $W$ 上に[[関係、同値関係、商集合|同値関係]]を入れることによって群にする。同値関係 $\sim$ は次で生成される。<br />
* $a_i$ がある群の単位元であるとき $(a_1,\cdots, a_{i-1}, a_{i}, a_{i+1} ,\cdots ,a_{n}) \sim (a_1,\cdots ,a_{i-1}, a_{i+1},\cdots a_{n})$<br />
* $b_{j},b_{j+1}$ が同じ群に属しているとき $(b_1,\cdots, b_{j}, b_{j+1},\cdots, b_{m}) \sim (b_1,\cdots ,(b_{j}b_{j+1}), \cdots ,b_{m})$<br />
~以上によって $W/\sim$ は連接によって[[well-defined]]な演算を定めこれは群をなす。実はこれが求めていた自由積の実現の一つである。なお余積を定めるそれぞれの群から射はその群の元をその文字のみからなる長さが $1$ の語の類に対応させることにより得られる。<br />
<br />
== 群の表示が与えられていたとき ==<br />
群の表示が与えられているときはより簡潔に自由積を表すことができる。<br />
$G_\lambda\cong\langle X_\lambda\mid R_\lambda\rangle$ により得られているとき。それらの自由積は<br />
$$\underset{\lambda\in\Lambda}{\ast}G_\lambda\cong\langle\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda\mid\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}R_\lambda\rangle$$<br />
と表すことができる。これはただ生成元と関係式を合わせたもので余計な関係式が入っていない。この余計な関係式が入っていないことが普遍性を満たすことの要因となっている。<br />
<br />
== [[可換化]] ==<br />
自由積の可換化は可換化したものの直和と自然に同型となる。具体的には<br />
$$<br />
(G\ast H)^{ab}\cong G^{ab}\oplus H^{ab}<br />
$$<br />
を満たす。これより一般に無限個の自由積においても成り立つ。具体的には<br />
$$<br />
\left(\underset{\lambda\in\Lambda}{\ast}G_\lambda\right)^{ab}\cong\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}^{ab}<br />
$$<br />
を満たす。<br />
<br />
== 具体例 ==<br />
* [[自明群]]との自由積は同型を除いて変化しない。(自明群は自由積に関する単位的な対象となる。)<br />
* $n$ 個の $\mathbb{Z}$ の自由積はランク $n$ の自由群 $F_n$ と同型となる。特に $F_n\ast F_m\cong F_{n+m}$である。<br />
* $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong \langle a,b\mid a^2,b^2\rangle \cong \langle f_a(x)\colon=-x , f_b(x)\colon=2-x \rangle \subset \rm{Isom}(\mathbb{R})$これは[[コクセター群]]である。特にこれは[[有限群]]同士の自由積は有限群とは限らないことを示している。<br />
* 非自明かつ有名な例として$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\cong \langle a,b\mid a^2,b^3\rangle\cong \rm{PSL}(2,\mathbb{Z})\colon=\rm{SL}(2,\mathbb{Z})/\{\pm I\}$ がある。<br />
これは $a$ を <br />
$\left[ \begin{array}{cc}<br />
1 & 1 \\<br />
0 & 1<br />
\end{array} \right]$ に、<br />
$b$ を <br />
$\left[ \begin{array}{cc}<br />
0 & -1 \\<br />
1 & 0<br />
\end{array} \right]$ に対応させることで同型が実現される。<br />
<br />
また、自由積による表示と上の可換化との関係を用いることで $\rm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ の可換化が <br />
$$<br />
\left(\rm{PSL}(2,\mathbb{Z})\right)^{ab} \cong ((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}))^{ab} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{ab}\oplus(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^{ab} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\oplus(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) \cong\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}<br />
$$<br />
と位数$6$の[[巡回群]]であることがわかる。<br />
<br />
== [[基本群]]との関係 ==<br />
自由積は基本群との相性が良い。点つき空間の[[ウェッジ和]]の基本群は点つき空間の基本群の自由積となる。正しく書けば。弧状連結な点つき空間の族 $\{X_i,x_i\}_{i\in I}$に対して<br />
$$\pi_{1}\left(\bigvee_{i\in I}(X_i,x_i)\right)\cong \underset{i\in I}{\ast} \pi_1(X_i,x_i)$$<br />
を満たす。これはウェッジ和は点つき空間の圏の余積であったから $\pi_1$ 関手は(この条件のもとで)余積を保つ関手である。<br />
このことは[[Van Kampenの定理]]と[[融合積]]の特殊な場合として得られる。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[群の表示]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[融合積]]<br />
* [[Van Kampenの定理]]<br />
<br />
====== 脚注 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%94%B1%E7%A9%8D&diff=6191
自由積
2021-05-10T06:46:01Z
<p>ぱなむー: /* 語の定義と */</p>
<hr />
<div>== 自由積 ==<br />
自由積(free product)とは二つの群から新たな群を得る対応で[[基本群]]との相性が良い。[[群の圏]]における[[余積]]になっている。<ref name="remark1">[[アーベル群の圏]]における[[余積]]は自由積ではなく[[アーベル群]]の[[直和]]であることに注意。</ref><br />
<br />
<br />
== 群の圏において ==<br />
二つの[[群]] $G,H$ の'''自由積'''とは $G\ast H$で表される群で、これは群の圏における[[余積]]であり普遍性から存在すれば同型を除いて一意である。また実際にそのような群はいつでも存在する。自由積をとる操作は自然な同型を除いて単位的、結合的、可換な操作である。<br />
[[集合の圏]]などにおいて余積は非交和として現れるが群の和集合は一般に群にならないように自由積は多少複雑で一般に大きな群となる。また自由積は2つだけなく任意個の群の自由積も定義することができる。<br />
(図式はあとで書く)<br />
また自由積は群の圏での[[押し出し]]である[[融合積]]の特殊な場合でもある。<br />
<br />
== 直接の定義 ==<br />
余積の普遍性から存在すれば同型を除いて一意的に存在する。このような群の構成は'''語と簡約'''によって得られることが知られており、書籍によってはこの構成をもって自由積と呼ぶこともある。<br />
<br />
=== 語の定義と ===<br />
まず二つの群 $(G,e_{G}),(H,e_{H})$<ref name="remark2"> 単位元 $e$ に添字を付けているのは和集合をとった際にどの群の単位元か見分けるため便宜的に付けている。</ref>に対して $G\sqcup H$ の有限列全体を $W$ で表すこととする。([[形式言語]]も参照されたい。ここでは語は"(",")"を用いて扱うこととする。) $W$ の元を'''語'''(word)と呼ぶ。2つの語に対してそれらをそのまま並べて新たな語を定義する'''連接'''と呼ばれる演算が入り $W$ は[[モノイド]]なる<br />
<br />
一般の群の族 $\{(G,e_{G_\lambda})\}_{\lambda\in\Lambda}$ に対しても<ref name="remark3">$0$個の自由積もこの定義が適用できることに注意。これは空語のみからなる自明群となる。</ref> $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda$ の有限列全体を $W$ としてそれらの連接を考えれば同様に $W$ はモノイドとなる。([[自由モノイド]]も参照されたい。)<br />
<br />
=== 簡約(縮約) ===<br />
上で定義されたモノイド $W$ 上に[[関係、同値関係、商集合|同値関係]]を入れることによって群にする。同値関係 $\sim$ は次で生成される。<br />
* $a_i$ がある群の単位元であるとき $(a_1,\cdots, a_{i-1}, a_{i}, a_{i+1} ,\cdots ,a_{n}) \sim (a_1,\cdots ,a_{i-1}, a_{i+1},\cdots a_{n})$<br />
* $b_{j},b_{j+1}$ が同じ群に属しているとき $(b_1,\cdots, b_{j}, b_{j+1},\cdots, b_{m}) \sim (b_1,\cdots ,(b_{j}b_{j+1}), \cdots ,b_{m})$<br />
~以上によって $W/\sim$ は連接によって[[well-defined]]な演算を定めこれは群をなす。実はこれが求めていた自由積の実現の一つである。なお余積を定めるそれぞれの群から射はその群の元をその文字のみからなる長さが $1$ の語の類に対応させることにより得られる。<br />
<br />
== 群の表示が与えられていたとき ==<br />
群の表示が与えられているときはより簡潔に自由積を表すことができる。<br />
$G_\lambda\cong\langle X_\lambda\mid R_\lambda\rangle$ により得られているとき。それらの自由積は<br />
$$\underset{\lambda\in\Lambda}{\ast}G_\lambda\cong\langle\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda\mid\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}R_\lambda\rangle$$<br />
と表すことができる。これはただ生成元と関係式を合わせたもので余計な関係式が入っていない。この余計な関係式が入っていないことが普遍性を満たすことの要因となっている。<br />
<br />
== [[可換化]] ==<br />
自由積の可換化は可換化したものの直和と自然に同型となる。具体的には<br />
$$<br />
(G\ast H)^{ab}\cong G^{ab}\oplus H^{ab}<br />
$$<br />
を満たす。これより一般に無限個の自由積においても成り立つ。具体的には<br />
$$<br />
\left(\underset{\lambda\in\Lambda}{\ast}G_\lambda\right)^{ab}\cong\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}^{ab}<br />
$$<br />
を満たす。<br />
<br />
== 具体例 ==<br />
* [[自明群]]との自由積は同型を除いて変化しない。(自明群は自由積に関する単位的な対象となる。)<br />
* $n$ 個の $\mathbb{Z}$ の自由積はランク $n$ の自由群 $F_n$ と同型となる。特に $F_n\ast F_m\cong F_{n+m}$である。<br />
* $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong \langle a,b\mid a^2,b^2\rangle \cong \langle f_a(x)\colon=-x , f_b(x)\colon=2-x \rangle \subset \rm{Isom}(\mathbb{R})$これは[[コクセター群]]である。特にこれは[[有限群]]同士の自由積は有限群とは限らないことを示している。<br />
* 非自明かつ有名な例として$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\cong \langle a,b\mid a^2,b^3\rangle\cong \rm{PSL}(2,\mathbb{Z})\colon=\rm{SL}(2,\mathbb{Z})/\{\pm I\}$ がある。<br />
これは $a$ を <br />
$\left[ \begin{array}{cc}<br />
1 & 1 \\<br />
0 & 1<br />
\end{array} \right]$ に、<br />
$b$ を <br />
$\left[ \begin{array}{cc}<br />
0 & -1 \\<br />
1 & 0<br />
\end{array} \right]$ に対応させることで同型が実現される。<br />
<br />
また、自由積による表示と上の可換化との関係を用いることで $\rm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ の可換化が <br />
$$<br />
\left(\rm{PSL}(2,\mathbb{Z})\right)^{ab} \cong ((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}))^{ab} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{ab}\oplus(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^{ab} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\oplus(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) \cong\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}<br />
$$<br />
と位数$6$の[[巡回群]]であることがわかる。<br />
<br />
== [[基本群]]との関係 ==<br />
自由積は基本群との相性が良い。点つき空間の[[ウェッジ和]]の基本群は点つき空間の基本群の自由積となる。正しく書けば。弧状連結な点つき空間の族 $\{X_i,x_i\}_{i\in I}$に対して<br />
$$\pi_{1}\left(\bigvee_{i\in I}(X_i,x_i)\right)\cong \underset{i\in I}{\ast} \pi_1(X_i,x_i)$$<br />
を満たす。これはウェッジ和は点つき空間の圏の余積であったから $\pi_1$ 関手は(この条件のもとで)余積を保つ関手である。<br />
このことは[[Van Kampenの定理]]と[[融合積]]の特殊な場合として得られる。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[群の表示]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[融合積]]<br />
* [[Van Kampenの定理]]<br />
<br />
====== 脚注 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA:%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96&diff=6190
カテゴリ:位相空間論
2021-05-10T06:40:10Z
<p>ぱなむー: /* 空間の連結性についての性質 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
== カテゴリ:位相空間論 ==<br />
このページでは[[位相空間論]]に関するMathpedia 内の記事を整理する。<br />
<br />
== 基礎 ==<br />
<br />
以下に述べる事項は位相空間論に関する、非常に基本的な概念である。<br />
<br />
* [[位相空間]]<br />
* [[閉包]]<br />
* [[内部]]<br />
* [[近傍]]<br />
* [[連続写像]]<br />
* [[分離公理]]<br />
* [[コンパクト空間]]<br />
* [[開基]]<br />
<br />
== 概念 ==<br />
<br />
=== 点 ===<br />
<br />
位相空間の点についての概念をリストアップする。<br />
<br />
* [[孤立点]]<br />
* [[閉点]]<br />
* [[特殊化]]<br />
* [[一般化]]<br />
<br />
=== 図形 ===<br />
<br />
位相空間の部分集合についての概念をリストアップする。<br />
<br />
* [[G_δ集合]]<br />
* [[F_σ集合]]<br />
* [[正則開集合]]<br />
* [[正則閉集合]]<br />
* [[導来集合]]<br />
* [[Borel集合]]<br />
<br />
=== 点列・ネットに関連する概念 ===<br />
* [[点列コンパクト空間]]<br />
<br />
=== 空間の性質 ===<br />
<br />
==== [[基数関数]]により特徴づけられる性質 ====<br />
<br />
* [[可分空間]]<br />
* [[第一可算空間]]<br />
* [[第二可算空間]]<br />
* [[Lindelöf空間]]<br />
* [[概Lindelöf空間]]<br />
* [[弱Lindelöf空間]]<br />
* [[c.c.c.空間]]<br />
<br />
==== 開被覆の細分により特徴づけられる性質 ====<br />
<br />
* [[コンパクト空間]]<br />
* [[Lindelöf空間]]<br />
* [[可算コンパクト空間]]<br />
* [[σコンパクト空間]]<br />
* [[メタコンパクト空間]]<br />
* [[パラコンパクト空間]]<br />
* [[強パラコンパクト空間]]<br />
* [[局所コンパクト空間]]<br />
<br />
==== 空間の分離性についての性質 ====<br />
<br />
* [[分離公理]]<br />
* [[sober空間]]<br />
<br />
==== 空間の連結性についての性質 ====<br />
* [[連結空間]]<br />
* [[連結空間|局所連結空間]]<br />
* [[弧状連結空間]]<br />
* [[弧状連結空間|局所弧状連結空間]]<br />
* [[単連結空間]]<br />
* [[単連結空間|局所単連結空間]]<br />
* [[半局所単連結空間]]<br />
* [[n-連結空間]]<br />
* [[n-連結空間|局所n-連結空間]]<br />
* [[完全不連結空間]]<br />
<br />
==== 未分類 ====<br />
* [[副有限空間]]<br />
* [[p空間]]<br />
* [[Σ空間]]<br />
* [[全体正規空間]]<br />
* [[実コンパクト空間]]<br />
* [[Čech完備空間]]<br />
* [[既約空間]]<br />
* [[可縮空間]]<br />
<br />
=== 空間について定まる量 ===<br />
* [[基数関数]]<br />
* [[Krull次元]]<br />
* [[被覆次元]]<br />
* [[コホモロジー次元]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[ホモトピー群]]<br />
* [[特異コホモロジー群]]<br />
* [[K群]]<br />
* [[コボルディズム]]<br />
* [[楕円コホモロジー]]<br />
* [[一般コホモロジー]]<br />
<br />
=== 連続写像 ===<br />
<br />
* [[連続写像]]<br />
* [[同相]]<br />
* [[開写像]]<br />
* [[閉写像]]<br />
* [[埋め込み]]<br />
* [[固有写像]]<br />
* [[完全写像]]<br />
<br />
=== 具体例 ===<br />
<br />
==== 個別の空間の例 ====<br />
<br />
* [[n次元球面]]<br />
* [[くし空間]]<br />
* [[ハワイの耳飾り]]<br />
* [[Sorgenfrey直線]]<br />
* [[長い直線]]<br />
* [[Hilbert立方体]]<br />
* [[Sierpinski空間]]<br />
* [[レンズ空間]]<br />
<br />
==== 空間の例 ====<br />
* [[Suslin線]]<br />
* [[和田の湖]]<br />
<br />
==== 個別の写像の例 ====<br />
* [[Hopfファイブレーション]]<br />
* [[角付き球面]]<br />
<br />
==== 空間のクラス ====<br />
<br />
厳密な意味では位相空間ではないが、位相空間としてみなすことができるものについても含めている。<br />
<br />
* [[CW複体]]<br />
* [[距離空間]]<br />
* [[一様空間]]<br />
* [[位相多様体]]<br />
* [[PL多様体]]<br />
* [[絶対近傍レトラクト]]<br />
<br />
=== 空間の構成 ===<br />
* [[和空間]]<br />
* [[積空間]]<br />
* [[部分空間]]<br />
* [[商空間]]<br />
* [[コンパクト開位相|関数空間]]<br />
* [[ウェッジ和]]<br />
* [[スマッシュ積]]<br />
* [[$T_0$-商]]<br />
* [[Hausdorff商]]<br />
* [[Stone-Čechコンパクト化]]<br />
* [[箱積]]<br />
* [[G_δ-modification|$G_\delta$-modification]]<br />
<br />
=== 未分類 ===<br />
* [[構成可能位相]]<br />
* [[Postonikov tower]]<br />
<br />
== 定理 ==<br />
<br />
=== 基本的な定理 ===<br />
* [[Urysohnの補題]]<br />
* [[Tychonoffの定理]]<br />
* [[Tietzeの拡張定理]]<br />
* [[Dugundjiの拡張定理]]<br />
<br />
=== 距離化定理 ===<br />
* [[ゲージ化補題]]<br />
* [[長田-Smirnovの距離化定理]]<br />
<br />
== テキスト ==<br />
* [[入門テキスト「位相空間論」]]<br />
* [[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]<br />
* [[ネットによる位相空間論]]<br />
* [[フィルターによる位相空間論]]<br />
* [[コンパクト性とその周辺]]</div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA:%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96&diff=6189
カテゴリ:位相空間論
2021-05-10T06:35:01Z
<p>ぱなむー: /* 空間について定まる量 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
== カテゴリ:位相空間論 ==<br />
このページでは[[位相空間論]]に関するMathpedia 内の記事を整理する。<br />
<br />
== 基礎 ==<br />
<br />
以下に述べる事項は位相空間論に関する、非常に基本的な概念である。<br />
<br />
* [[位相空間]]<br />
* [[閉包]]<br />
* [[内部]]<br />
* [[近傍]]<br />
* [[連続写像]]<br />
* [[分離公理]]<br />
* [[コンパクト空間]]<br />
* [[開基]]<br />
<br />
== 概念 ==<br />
<br />
=== 点 ===<br />
<br />
位相空間の点についての概念をリストアップする。<br />
<br />
* [[孤立点]]<br />
* [[閉点]]<br />
* [[特殊化]]<br />
* [[一般化]]<br />
<br />
=== 図形 ===<br />
<br />
位相空間の部分集合についての概念をリストアップする。<br />
<br />
* [[G_δ集合]]<br />
* [[F_σ集合]]<br />
* [[正則開集合]]<br />
* [[正則閉集合]]<br />
* [[導来集合]]<br />
* [[Borel集合]]<br />
<br />
=== 点列・ネットに関連する概念 ===<br />
* [[点列コンパクト空間]]<br />
<br />
=== 空間の性質 ===<br />
<br />
==== [[基数関数]]により特徴づけられる性質 ====<br />
<br />
* [[可分空間]]<br />
* [[第一可算空間]]<br />
* [[第二可算空間]]<br />
* [[Lindelöf空間]]<br />
* [[概Lindelöf空間]]<br />
* [[弱Lindelöf空間]]<br />
* [[c.c.c.空間]]<br />
<br />
==== 開被覆の細分により特徴づけられる性質 ====<br />
<br />
* [[コンパクト空間]]<br />
* [[Lindelöf空間]]<br />
* [[可算コンパクト空間]]<br />
* [[σコンパクト空間]]<br />
* [[メタコンパクト空間]]<br />
* [[パラコンパクト空間]]<br />
* [[強パラコンパクト空間]]<br />
* [[局所コンパクト空間]]<br />
<br />
==== 空間の分離性についての性質 ====<br />
<br />
* [[分離公理]]<br />
* [[sober空間]]<br />
<br />
==== 空間の連結性についての性質 ====<br />
* [[連結空間]]<br />
* [[連結空間|局所連結空間]]<br />
* [[弧状連結空間]]<br />
* [[弧状連結空間|局所弧状連結空間]]<br />
* [[単連結空間]]<br />
* [[単連結空間|局所単連結空間]]<br />
* [[n-連結空間]]<br />
* [[n-連結空間|局所n-連結空間]]<br />
* [[完全不連結空間]]<br />
<br />
==== 未分類 ====<br />
* [[副有限空間]]<br />
* [[p空間]]<br />
* [[Σ空間]]<br />
* [[全体正規空間]]<br />
* [[実コンパクト空間]]<br />
* [[Čech完備空間]]<br />
* [[既約空間]]<br />
* [[可縮空間]]<br />
<br />
=== 空間について定まる量 ===<br />
* [[基数関数]]<br />
* [[Krull次元]]<br />
* [[被覆次元]]<br />
* [[コホモロジー次元]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[ホモトピー群]]<br />
* [[特異コホモロジー群]]<br />
* [[K群]]<br />
* [[コボルディズム]]<br />
* [[楕円コホモロジー]]<br />
* [[一般コホモロジー]]<br />
<br />
=== 連続写像 ===<br />
<br />
* [[連続写像]]<br />
* [[同相]]<br />
* [[開写像]]<br />
* [[閉写像]]<br />
* [[埋め込み]]<br />
* [[固有写像]]<br />
* [[完全写像]]<br />
<br />
=== 具体例 ===<br />
<br />
==== 個別の空間の例 ====<br />
<br />
* [[n次元球面]]<br />
* [[くし空間]]<br />
* [[ハワイの耳飾り]]<br />
* [[Sorgenfrey直線]]<br />
* [[長い直線]]<br />
* [[Hilbert立方体]]<br />
* [[Sierpinski空間]]<br />
* [[レンズ空間]]<br />
<br />
==== 空間の例 ====<br />
* [[Suslin線]]<br />
* [[和田の湖]]<br />
<br />
==== 個別の写像の例 ====<br />
* [[Hopfファイブレーション]]<br />
* [[角付き球面]]<br />
<br />
==== 空間のクラス ====<br />
<br />
厳密な意味では位相空間ではないが、位相空間としてみなすことができるものについても含めている。<br />
<br />
* [[CW複体]]<br />
* [[距離空間]]<br />
* [[一様空間]]<br />
* [[位相多様体]]<br />
* [[PL多様体]]<br />
* [[絶対近傍レトラクト]]<br />
<br />
=== 空間の構成 ===<br />
* [[和空間]]<br />
* [[積空間]]<br />
* [[部分空間]]<br />
* [[商空間]]<br />
* [[コンパクト開位相|関数空間]]<br />
* [[ウェッジ和]]<br />
* [[スマッシュ積]]<br />
* [[$T_0$-商]]<br />
* [[Hausdorff商]]<br />
* [[Stone-Čechコンパクト化]]<br />
* [[箱積]]<br />
* [[G_δ-modification|$G_\delta$-modification]]<br />
<br />
=== 未分類 ===<br />
* [[構成可能位相]]<br />
* [[Postonikov tower]]<br />
<br />
== 定理 ==<br />
<br />
=== 基本的な定理 ===<br />
* [[Urysohnの補題]]<br />
* [[Tychonoffの定理]]<br />
* [[Tietzeの拡張定理]]<br />
* [[Dugundjiの拡張定理]]<br />
<br />
=== 距離化定理 ===<br />
* [[ゲージ化補題]]<br />
* [[長田-Smirnovの距離化定理]]<br />
<br />
== テキスト ==<br />
* [[入門テキスト「位相空間論」]]<br />
* [[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]<br />
* [[ネットによる位相空間論]]<br />
* [[フィルターによる位相空間論]]<br />
* [[コンパクト性とその周辺]]</div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA:%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96&diff=6188
カテゴリ:位相空間論
2021-05-10T06:32:22Z
<p>ぱなむー: /* 空間の構成 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
== カテゴリ:位相空間論 ==<br />
このページでは[[位相空間論]]に関するMathpedia 内の記事を整理する。<br />
<br />
== 基礎 ==<br />
<br />
以下に述べる事項は位相空間論に関する、非常に基本的な概念である。<br />
<br />
* [[位相空間]]<br />
* [[閉包]]<br />
* [[内部]]<br />
* [[近傍]]<br />
* [[連続写像]]<br />
* [[分離公理]]<br />
* [[コンパクト空間]]<br />
* [[開基]]<br />
<br />
== 概念 ==<br />
<br />
=== 点 ===<br />
<br />
位相空間の点についての概念をリストアップする。<br />
<br />
* [[孤立点]]<br />
* [[閉点]]<br />
* [[特殊化]]<br />
* [[一般化]]<br />
<br />
=== 図形 ===<br />
<br />
位相空間の部分集合についての概念をリストアップする。<br />
<br />
* [[G_δ集合]]<br />
* [[F_σ集合]]<br />
* [[正則開集合]]<br />
* [[正則閉集合]]<br />
* [[導来集合]]<br />
* [[Borel集合]]<br />
<br />
=== 点列・ネットに関連する概念 ===<br />
* [[点列コンパクト空間]]<br />
<br />
=== 空間の性質 ===<br />
<br />
==== [[基数関数]]により特徴づけられる性質 ====<br />
<br />
* [[可分空間]]<br />
* [[第一可算空間]]<br />
* [[第二可算空間]]<br />
* [[Lindelöf空間]]<br />
* [[概Lindelöf空間]]<br />
* [[弱Lindelöf空間]]<br />
* [[c.c.c.空間]]<br />
<br />
==== 開被覆の細分により特徴づけられる性質 ====<br />
<br />
* [[コンパクト空間]]<br />
* [[Lindelöf空間]]<br />
* [[可算コンパクト空間]]<br />
* [[σコンパクト空間]]<br />
* [[メタコンパクト空間]]<br />
* [[パラコンパクト空間]]<br />
* [[強パラコンパクト空間]]<br />
* [[局所コンパクト空間]]<br />
<br />
==== 空間の分離性についての性質 ====<br />
<br />
* [[分離公理]]<br />
* [[sober空間]]<br />
<br />
==== 空間の連結性についての性質 ====<br />
* [[連結空間]]<br />
* [[連結空間|局所連結空間]]<br />
* [[弧状連結空間]]<br />
* [[弧状連結空間|局所弧状連結空間]]<br />
* [[単連結空間]]<br />
* [[単連結空間|局所単連結空間]]<br />
* [[n-連結空間]]<br />
* [[n-連結空間|局所n-連結空間]]<br />
* [[完全不連結空間]]<br />
<br />
==== 未分類 ====<br />
* [[副有限空間]]<br />
* [[p空間]]<br />
* [[Σ空間]]<br />
* [[全体正規空間]]<br />
* [[実コンパクト空間]]<br />
* [[Čech完備空間]]<br />
* [[既約空間]]<br />
* [[可縮空間]]<br />
<br />
=== 空間について定まる量 ===<br />
* [[基数関数]]<br />
* [[Krull次元]]<br />
* [[被覆次元]]<br />
* [[コホモロジー次元]]<br />
* [[ホモトピー群]]<br />
* [[特異コホモロジー群]]<br />
* [[K群]]<br />
* [[コボルディズム]]<br />
* [[楕円コホモロジー]]<br />
* [[一般コホモロジー]]<br />
<br />
=== 連続写像 ===<br />
<br />
* [[連続写像]]<br />
* [[同相]]<br />
* [[開写像]]<br />
* [[閉写像]]<br />
* [[埋め込み]]<br />
* [[固有写像]]<br />
* [[完全写像]]<br />
<br />
=== 具体例 ===<br />
<br />
==== 個別の空間の例 ====<br />
<br />
* [[n次元球面]]<br />
* [[くし空間]]<br />
* [[ハワイの耳飾り]]<br />
* [[Sorgenfrey直線]]<br />
* [[長い直線]]<br />
* [[Hilbert立方体]]<br />
* [[Sierpinski空間]]<br />
* [[レンズ空間]]<br />
<br />
==== 空間の例 ====<br />
* [[Suslin線]]<br />
* [[和田の湖]]<br />
<br />
==== 個別の写像の例 ====<br />
* [[Hopfファイブレーション]]<br />
* [[角付き球面]]<br />
<br />
==== 空間のクラス ====<br />
<br />
厳密な意味では位相空間ではないが、位相空間としてみなすことができるものについても含めている。<br />
<br />
* [[CW複体]]<br />
* [[距離空間]]<br />
* [[一様空間]]<br />
* [[位相多様体]]<br />
* [[PL多様体]]<br />
* [[絶対近傍レトラクト]]<br />
<br />
=== 空間の構成 ===<br />
* [[和空間]]<br />
* [[積空間]]<br />
* [[部分空間]]<br />
* [[商空間]]<br />
* [[コンパクト開位相|関数空間]]<br />
* [[ウェッジ和]]<br />
* [[スマッシュ積]]<br />
* [[$T_0$-商]]<br />
* [[Hausdorff商]]<br />
* [[Stone-Čechコンパクト化]]<br />
* [[箱積]]<br />
* [[G_δ-modification|$G_\delta$-modification]]<br />
<br />
=== 未分類 ===<br />
* [[構成可能位相]]<br />
* [[Postonikov tower]]<br />
<br />
== 定理 ==<br />
<br />
=== 基本的な定理 ===<br />
* [[Urysohnの補題]]<br />
* [[Tychonoffの定理]]<br />
* [[Tietzeの拡張定理]]<br />
* [[Dugundjiの拡張定理]]<br />
<br />
=== 距離化定理 ===<br />
* [[ゲージ化補題]]<br />
* [[長田-Smirnovの距離化定理]]<br />
<br />
== テキスト ==<br />
* [[入門テキスト「位相空間論」]]<br />
* [[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]<br />
* [[ネットによる位相空間論]]<br />
* [[フィルターによる位相空間論]]<br />
* [[コンパクト性とその周辺]]</div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA:%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93%E8%AB%96&diff=6187
カテゴリ:位相空間論
2021-05-10T06:30:43Z
<p>ぱなむー: /* 空間の連結性についての性質 */</p>
<hr />
<div><br />
<br />
<noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示 --><br />
</noinclude><br />
== カテゴリ:位相空間論 ==<br />
このページでは[[位相空間論]]に関するMathpedia 内の記事を整理する。<br />
<br />
== 基礎 ==<br />
<br />
以下に述べる事項は位相空間論に関する、非常に基本的な概念である。<br />
<br />
* [[位相空間]]<br />
* [[閉包]]<br />
* [[内部]]<br />
* [[近傍]]<br />
* [[連続写像]]<br />
* [[分離公理]]<br />
* [[コンパクト空間]]<br />
* [[開基]]<br />
<br />
== 概念 ==<br />
<br />
=== 点 ===<br />
<br />
位相空間の点についての概念をリストアップする。<br />
<br />
* [[孤立点]]<br />
* [[閉点]]<br />
* [[特殊化]]<br />
* [[一般化]]<br />
<br />
=== 図形 ===<br />
<br />
位相空間の部分集合についての概念をリストアップする。<br />
<br />
* [[G_δ集合]]<br />
* [[F_σ集合]]<br />
* [[正則開集合]]<br />
* [[正則閉集合]]<br />
* [[導来集合]]<br />
* [[Borel集合]]<br />
<br />
=== 点列・ネットに関連する概念 ===<br />
* [[点列コンパクト空間]]<br />
<br />
=== 空間の性質 ===<br />
<br />
==== [[基数関数]]により特徴づけられる性質 ====<br />
<br />
* [[可分空間]]<br />
* [[第一可算空間]]<br />
* [[第二可算空間]]<br />
* [[Lindelöf空間]]<br />
* [[概Lindelöf空間]]<br />
* [[弱Lindelöf空間]]<br />
* [[c.c.c.空間]]<br />
<br />
==== 開被覆の細分により特徴づけられる性質 ====<br />
<br />
* [[コンパクト空間]]<br />
* [[Lindelöf空間]]<br />
* [[可算コンパクト空間]]<br />
* [[σコンパクト空間]]<br />
* [[メタコンパクト空間]]<br />
* [[パラコンパクト空間]]<br />
* [[強パラコンパクト空間]]<br />
* [[局所コンパクト空間]]<br />
<br />
==== 空間の分離性についての性質 ====<br />
<br />
* [[分離公理]]<br />
* [[sober空間]]<br />
<br />
==== 空間の連結性についての性質 ====<br />
* [[連結空間]]<br />
* [[連結空間|局所連結空間]]<br />
* [[弧状連結空間]]<br />
* [[弧状連結空間|局所弧状連結空間]]<br />
* [[単連結空間]]<br />
* [[単連結空間|局所単連結空間]]<br />
* [[n-連結空間]]<br />
* [[n-連結空間|局所n-連結空間]]<br />
* [[完全不連結空間]]<br />
<br />
==== 未分類 ====<br />
* [[副有限空間]]<br />
* [[p空間]]<br />
* [[Σ空間]]<br />
* [[全体正規空間]]<br />
* [[実コンパクト空間]]<br />
* [[Čech完備空間]]<br />
* [[既約空間]]<br />
* [[可縮空間]]<br />
<br />
=== 空間について定まる量 ===<br />
* [[基数関数]]<br />
* [[Krull次元]]<br />
* [[被覆次元]]<br />
* [[コホモロジー次元]]<br />
* [[ホモトピー群]]<br />
* [[特異コホモロジー群]]<br />
* [[K群]]<br />
* [[コボルディズム]]<br />
* [[楕円コホモロジー]]<br />
* [[一般コホモロジー]]<br />
<br />
=== 連続写像 ===<br />
<br />
* [[連続写像]]<br />
* [[同相]]<br />
* [[開写像]]<br />
* [[閉写像]]<br />
* [[埋め込み]]<br />
* [[固有写像]]<br />
* [[完全写像]]<br />
<br />
=== 具体例 ===<br />
<br />
==== 個別の空間の例 ====<br />
<br />
* [[n次元球面]]<br />
* [[くし空間]]<br />
* [[ハワイの耳飾り]]<br />
* [[Sorgenfrey直線]]<br />
* [[長い直線]]<br />
* [[Hilbert立方体]]<br />
* [[Sierpinski空間]]<br />
* [[レンズ空間]]<br />
<br />
==== 空間の例 ====<br />
* [[Suslin線]]<br />
* [[和田の湖]]<br />
<br />
==== 個別の写像の例 ====<br />
* [[Hopfファイブレーション]]<br />
* [[角付き球面]]<br />
<br />
==== 空間のクラス ====<br />
<br />
厳密な意味では位相空間ではないが、位相空間としてみなすことができるものについても含めている。<br />
<br />
* [[CW複体]]<br />
* [[距離空間]]<br />
* [[一様空間]]<br />
* [[位相多様体]]<br />
* [[PL多様体]]<br />
* [[絶対近傍レトラクト]]<br />
<br />
=== 空間の構成 ===<br />
* [[和空間]]<br />
* [[積空間]]<br />
* [[部分空間]]<br />
* [[商空間]]<br />
* [[コンパクト開位相|関数空間]]<br />
* [[スマッシュ積]]<br />
* [[$T_0$-商]]<br />
* [[Hausdorff商]]<br />
* [[Stone-Čechコンパクト化]]<br />
* [[箱積]]<br />
* [[G_δ-modification|$G_\delta$-modification]]<br />
<br />
=== 未分類 ===<br />
* [[構成可能位相]]<br />
* [[Postonikov tower]]<br />
<br />
== 定理 ==<br />
<br />
=== 基本的な定理 ===<br />
* [[Urysohnの補題]]<br />
* [[Tychonoffの定理]]<br />
* [[Tietzeの拡張定理]]<br />
* [[Dugundjiの拡張定理]]<br />
<br />
=== 距離化定理 ===<br />
* [[ゲージ化補題]]<br />
* [[長田-Smirnovの距離化定理]]<br />
<br />
== テキスト ==<br />
* [[入門テキスト「位相空間論」]]<br />
* [[速習コース「位相空間論の基礎事項」]]<br />
* [[ネットによる位相空間論]]<br />
* [[フィルターによる位相空間論]]<br />
* [[コンパクト性とその周辺]]</div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%BA%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=6003
レンズ空間
2021-05-06T11:41:46Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div><noinclude><br />
<br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--><br />
</noinclude><br />
== レンズ空間 ==<br />
'''レンズ空間（lens space)''' とは、基本的な $3$ 次元閉多様体の一つであり、ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。またはその一般化を含めてレンズ空間と呼ぶこともある。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
* ($3$ 次元)レンズ空間<br />
まず $(p,q)$ を互いに素な自然数の組($p\geq2,1\leq q<p$)とし、[[$n$次元球面|$3$ 次元球面]] $S^3$を $S^3\colon=\left\{(z_{1},z_{2})\in{\mathbb{C}}^2 \ \middle| \ |z_{1}|^2+|z_{2}|^{2}=1\right\}$ と ${\mathbb{C}}^2$ の部分空間と見なしておく。すると次のように $S^3$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を[[作用]] させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{3}\hspace{1mm}\times\hspace{1mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{4mm}&\to& \hspace{16mm}S^{3} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2qm\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を ${\rm L}(p;q):=S^{3}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q)$ レンズ空間'''と呼ぶ。<br />
またその他の記号として ${\rm L}(p,q)$ や、その一般化との整合性のため ${\rm L}(p;1,q)$、${\rm L}_{p}(1,q)$ などと書かれることもある。<br />
<br />
* 高次元レンズ空間<br />
同様の方法でより高次元の球に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用をさせることができる。<br />
まず $(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_n)$ を自然数の組であって、$p\geq 2$、どの $i$ についても $p$ と $1\leq q_{i}<p$ は互いに素であるとする。$(2n-1)$ 次元球面($n>2$)も同様に、$\displaystyle S^{2n-1}\colon=\left\{(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})\in{\mathbb{C}}^n \ \middle| \ \sum_{j=1}^{n}|z_{j}|^2=1\right\}$ として ${\mathbb{C}}^n$ の部分空間と見なしておく。すると同様に次のように $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{2n-1}\hspace{3mm}\times\hspace{2mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{5mm}&\to& \hspace{30mm}S^{2n-1} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2},\cdots,z_{n}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2q_{1}m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}m\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}m\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を ${\rm L}(p;q_{1},q_{2,}\cdots,q_{n}):=S^{2n-1}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ レンズ空間'''と呼ぶ。また他の記号として ${\rm L}_{p}(q_{1},q_{1},\cdots,q_{n})$ も使われることがある。<br />
<br />
*コメント:個人的に特にレンズっぽさは感じられないですね<br />
<br />
== 定義から直ちに従うこと ==<br />
*いずれの場合も作用は標準的球面距離に関して[[等長写像|等長]]かつ[[解析的]](または滑らか)な[[群作用|自由]]な[[群作用|不連続作用]]となっており、自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to {\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は $S^{2n-1}$ の[[単連結空間|単連結性]]から $p$ 次の[[被覆空間|普遍被覆写像]]であり、特に[[主$G$束|主$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$束]]となっている。この解析的(またはなめらか)な作用により ${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は解析的(またはなめらかな) 向きづけ可能 $(2n-1)$ 次元閉多様体になり球面距離から自然に[[距離空間|距離]]、[[リーマン計量]]が誘導される。<br />
<br />
<br />
* $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[自己同型群|自己同型写像]]を合成してから作用させても得られる空間は同じものであることがわかる。これは「 $p$ と互いに素な自然数 $r$ に対して、 ${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})={\rm L}(p;rq_{1},rq_{2},\cdots,rq_{n})$ と同一のものが得られる」という形で定式化される。また特に $n=2$ の時 ${\rm L}(p;q_{1},q_{n})$ を考えると、$q_{1}+p\mathbb{Z}$ は $p$ と $q_{1}$ が互いに素であるから $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ において乗法逆元を持つことに注意する。つまり、ある自然数 $r$ が存在し $rq_{1}\equiv 1 (\rm{mod} \ p)$ となるものが存在する。従って ${\rm L}(p;q_{1},q_{2})={\rm L}(p;rq_{1},rq_{2})={\rm L}(p;1,rq_{2})={\rm L}(p;rq_{2})$ と $3$ 次元の時の定義で十分であることがわかる。<br />
<br />
<br />
* 成分を入れ替えを考えることで微分同相なものが得られる。これは「置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ に対して ${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q_{\sigma(1)},q_{\sigma(2)},\cdots,q_{\sigma(n)})$ は $[(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})]\mapsto [(z_{\sigma(1)},z_{\sigma(2)},\cdots,z_{\sigma(n)})]$ によって自然に微分同相となる」という形で定式化される。$n=2$ の時、特に上の結果と合わせることで ${\rm L}(p;q)={\rm L}(p;1,q)={\rm L}(p;q^{-1},1)\cong {\rm L}(p;1,q^{-1})={\rm L}(p;q^{-1})$ を得る(ただし $q^{-1}$ は ${\rm mod} \ p$ における $q$ の乗法逆元である。)。<br />
<br />
<br />
* $p=2$ の時、 ${\rm L}(2;1,1,\cdots,1)$ は[[射影空間|実射影空間]] $\mathbb{R}P^{2n-1}$ となる。<br />
<br />
== 主な不変量の値 ==<br />
* [[基本群]] <br />
自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to {\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は普遍被覆であるからこの被覆変換群が基本群となり特に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と同型となる。特に $q_{i}$ によらず $\pi_1({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}),[(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})])\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ であり、その生成元は <br />
\begin{eqnarray}<br />
\large [0,1]&\to& \hspace{15mm}{\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}) \\<br />
t\hspace{3.5mm} &\mapsto& [(z_{1} e^{\frac{2q_{1}t\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}t\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}t\pi}{p}\sqrt{-1}})]<br />
\end{eqnarray}<br />
が表すループが代表元となる。<br />
<br />
* [[ホモトピー群]] <br />
[[弧状連結空間|弧状連結]]であるから $\pi_{0}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ は一点集合である。<br />
$i>1$ に対してはく[[ファイバー束]]の[[ホモトピー完全系列]]の特殊な場合として適用することで $\pi_{i}(S^{2n-1})\cong\pi_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であることがわかり本質的に[[球面のホモトピー群]]を求めることに帰着する。詳しくはそちらも参照されたい。<br />
<br />
* [[ホモロジー群]] <br />
整数係数のホモロジー群は $S^{2n-1}$ の [[CW複体]]の構造であって群作用で保たれるものを具体的に構成することによって計算することができる。もしくは $3$ 次元レンズ空間に対しては後述する[[Dehn手術]]、種数 $1$ の[[Heegaard分解]]と[[Mayer–Vietoris完全系列]]よっても計算できる。<br />
\begin{eqnarray}<br />
&H_{0}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z} \\<br />
&H_{1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\<br />
&H_{2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&\hspace{10mm}\vdots& {} \\<br />
&H_{2n-3}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ <br />
&H_{2n-2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H_{2n-1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z}\\<br />
&H_{i}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \ (i\geq 2n)\\<br />
\end{eqnarray}<br />
($0<i<2n-1$については $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と $\{0\}$ が交互に現れる。)<br />
<br />
* [[コホモロジー群]] <br />
整数係数コホモロジー群は[[Poincaré双対性]]によって $H^{j}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{(2n-1)-j}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ で計算でき次のようになる。<br />
\begin{eqnarray}<br />
&H^{0}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z} \\<br />
&H^{1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H^{2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\<br />
&\hspace{10mm}\vdots& {} \\<br />
&H^{2n-1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H^{2n-2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ <br />
&H^{2n-1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z}\\<br />
&H^{i}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \ (i\geq 2n)\\<br />
\end{eqnarray}<br />
($0<i<2n-1$については $\{0\}$ と $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ が交互に現れる。)<br />
<br />
<br />
== ホモトピー不変量とレンズ空間の分類 ==<br />
上のようにレンズ空間の代表的なホモトピー不変量は $p$ によって決まり $q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}$ によらない。異なる $q_i$ に対して[[ホモトピー|ホモトピー同値]]でないようなものが存在すればそれらは上のような不変量で見分けられないことがわかる。そして実際にそのようなものが存在する(後述)。([[Whiteheadの定理]]も参照されたい。)またレンズ空間についてはさまざまな分類が既になされている。<br />
<br />
*ホモトピー同値 [P. Olum]<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}q_{i}\equiv \pm\prod_{i=1}^{n}kq'_{i}\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相 [E. J. Brody]<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv \pm kq'_{\sigma(i)}\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
($\pm$ は $i$ に依存してよい。)<br />
<br />
*微分同相 (十分条件)<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が微分同相」 $\Longleftarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv kq'_{\sigma(i)}\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
<br />
*[[PL同相]] [W. Franz, G. de Rham]<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がPL同相」$\Longleftrightarrow$ 「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
*[[H-コボルディズム|H-コボルダント]] [M. F. Atiyah, R. Bott]<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がH-コボルダント」$\Longleftrightarrow$ 「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
<br />
またこれらを $3$ 次元の時にまとめると次のようになる。($3$ 次元多様体においては同相、微分同相、PL同相は互いに同値であることに注意されたい。)<br />
*ホモトピー同値<br />
「${\rm L}(p;q)$ と ${\rm L}(p';q')$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ q\equiv \pm k^2q'\ \ ({\rm mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ qq'\equiv \pm (kq')^2\ \ ({\rm mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k'$ が存在して$ qq'\equiv \pm {k'}^2\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相、微分同相、PL同相、H-コボルダント<br />
「${\rm L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ が同相、微分同相、PL同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して、 $(1\equiv\pm k1\land q\equiv\pm kq')\lor (1\equiv\pm kq'\land q\equiv\pm k1) \ \ ({\rm mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm q')\lor(1\equiv\pm qq')\ \ ({\rm mod}\ p)$」$\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm {q'}^{\pm 1})\ \ ({\rm mod}\ p)$ 」 (全て $\pm$ は独立)<br />
<br />
上記のホモトピー不変量とこれらの分類により、<br />
* ${\rm L}(2;1)$ と ${\rm L}(3;1)$ は基本群、ホモトピー群、(コ)ホモロジー群が異なりホモトピー同値でない。<br />
* ${\rm L}(5;1)$ と ${\rm L}(5;2)$ は基本群、ホモトピー群、(コ)ホモロジー群が一致するが、ホモトピー同値ではない。<br />
* ${\rm L}(7;1)$ と ${\rm L}(7;2)$ はホモトピー同値だが、同相、微分同相、PL同相、H-コボルダントでない。<br />
* ${\rm L}(7;2)$ と ${\rm L}(7;3)$ は同相、微分同相、PL同相、H-コボルダント。<br />
であることがわかる。<br />
<br />
<br />
== $3$ 次元レンズ空間と[[Dehn手術]]、種数 $1$ の[[Heegaard分解]] ==<br />
${\rm L}(p;q)$ は二つの[[ソリッドトーラス]]を境界で張り合わせることができる。具体的には二つのソリッドトーラスの一方に標準的な[[ロンジチュード]]、もう一方のソリッドトーラス上に傾き $\pm \frac{p}{q}$ で得られる閉曲線を設定しておく。この二つの直線を張り合わせるように境界を張り合わせると ${\rm L}(p;q)$ が得られる。これは逆に以下えれば $\rm{L}(p;q)$ の種数 $1$ のHeegard分解を与えている。これは同様にDehn手術によって言い換えることができる。$S^3$ 内の[[自明な結び目]]に沿った係数 $\pm \frac{p}{q}$ によるDehn手術によって ${\rm L}(p;q)$ が得られる。また $\pm \frac{p}{q}$ の[[連分数展開]]と[[スラムダンク操作]]を繰り返すことによって自明な結び目からなる鎖状の絡み目に沿った整数手術に書き換えることができる。具体的には $\frac{p}{q}$ の連分数展開を $[a_{0};a_1,a_{2},\cdots,a_{N}]$ とすると、自明な結び目からなる鎖状の $N+1$ 成分絡み目に端から順に係数 $a_{0},a_{1},\cdots,a_{N}$ としたものに書き換えることができる。(図を入れる。)<br />
<br />
== [[Eilenberg–MacLane空間]]としての無限次元レンズ空間 ==<br />
以下で定義される'''無限次元レンズ空間'''は[[離散群]] $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[分類空間]]、つまり $K(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},1)$ Eilenberg–MacLane空間になっている。主に二つの構成方法がある。<br />
$\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}$ を $p$ と互いに素な数の列($1\leq q_{i}<p$)としておく(ここで、数列の取り方は任意である)。<br />
*ここで $k<l$ に対して自然な包含写像 ${\rm L}(p,q_{1},q_{2},\cdots,q_{k})\hookrightarrow {\rm L}(p,q_{1},q_{2},\cdots,q_{l})$ が定まる。この[[帰納系]]によって無限次元レンズ空間 ${\rm L}(p;\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}})\colon=\underset{\underset{i\in\mathbb{N}}{\longrightarrow}}{\lim}{\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{i})$が定義され、同様に商写像について[[帰納極限]]を取ることで $\pi\colon\underset{\underset{i\in\mathbb{N}}{\longrightarrow}}{\lim}S^{2i-1}=\colon S^{\infty}\to {\rm L}(p,\{q_{i}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}})$ が定まりこの写像が $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の分類空間を与えている。<br />
<br />
<br />
*複素数からなる数列 $\{z_{i}\}_{i\in \mathbb{N}}$ であって有限個を除いた成分が全て $0$ であるようなもの全体の[[ベクトル空間]](このベクトル空間には $\displaystyle \|\{z_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}\|\colon=\sqrt{\left(\sum_{i=1}^{\infty}|z_{i}|^{2}\right)}$ で定まる[[ノルム]]によって位相を定めておく)を考えこの空間の単位球面、つまり $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}{|z_{i}|}^2=1$ 全体を $S^{\infty}$ で表すことにする。ここで $S^{\infty}$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を各成分ごとに $\large (\{z_{i}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}},m+p\mathbb{Z})\mapsto \{z_{i}e^{\frac{2q_{i}m\pi}{p}\sqrt{-1}}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}}$ として作用を入れる。これによる商空間および商写像を考えることができ、$\pi\colon S^{\infty} \to S^{\infty}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=\colon {\rm L}(p;\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}})$ が定まる。この写像が $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の分類空間を与えている。<br />
<br />
<br />
以上の構成において効いている性質は「無限次元球面は[[可縮空間|可縮]]である」ということである。またEilenberg–MacLane空間および分類空間のホモトピー一意性から、どのような数列をとってから構成しても互いにホモトピー同値となる。特に $\rm{L}(p;\{1\}_{i\in\mathbb{N}})$ を考えれば十分であり、このホモトピー同値の違いを除いて $p$ に対する無限次元レンズ空間を ${\rm L}_{p}^{\infty}$ などで表すことがある。<br />
また $p=2$ の時、${\rm L}_{2}^{\infty}$ は無限次元実射影空間 $\mathbb{R}P^{\infty}$ となる。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[$n$次元球面]]<br />
* [[射影空間]]<br />
* [[Dehn手術]]<br />
* [[Heegaard分解]]<br />
* [[ホモロジー群]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[Whiteheadの定理]]<br />
* [[Eilenberg–MacLane空間]]<br />
* [[分類空間]]<br />
<br />
====== 参考文献 ======<br />
<references /><br />
* Paul Olum, ''Mappings of Manifolds and the Notion of Degree'', [https://www.jstor.org/stable/1969748 Ann. of Math(2), Vol. 58, No. 3 (Nov., 1953), 458-480]<br />
* E. J. Brod, ''The Topological Classification of the Lens Spaces'', [https://www.jstor.org/stable/1969884 Ann. of Math(2) Vol. 71, No. 1 (Jan., 1960), 163-184]<br />
* Franz, W., ''Über die Torsion einer Überdeckung'' [https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crll.1935.173.245/html Journ. f. Math. 173, 245-254 (1935). ]<br />
* G. de Rham, ''Sur les nouveaux invariants topologiques de M. Reidemeister'', [http://www.mathnet.ru/links/be29aaba39a42788afab0cabc39dfd3b/sm5486.pdf Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S., 1936, Vol. 1(43), No. 5, 737–743]<br />
* M. F. Atiyah, R. Bott, ''A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: II. Applications'', [https://www.jstor.org/stable/1970721 Ann. of Math(2), Vol. 88, No. 3 (Nov., 1968), 451-491]</div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%BA%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=6002
レンズ空間
2021-05-06T11:25:54Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div><noinclude><br />
<br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--><br />
</noinclude><br />
== レンズ空間 ==<br />
'''レンズ空間（lens space)''' とは、基本的な $3$ 次元閉多様体の一つであり、ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。またはその一般化を含めてレンズ空間と呼ぶこともある。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
* ($3$ 次元)レンズ空間<br />
まず $(p,q)$ を互いに素な自然数の組($p\geq2,1\leq q<p$)とし、[[$n$次元球面|$3$ 次元球面]] $S^3$を $S^3\colon=\left\{(z_{1},z_{2})\in{\mathbb{C}}^2 \ \middle| \ |z_{1}|^2+|z_{2}|^{2}=1\right\}$ と ${\mathbb{C}}^2$ の部分空間と見なしておく。すると次のように $S^3$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を[[作用]] させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{3}\hspace{1mm}\times\hspace{1mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{4mm}&\to& \hspace{16mm}S^{3} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2qm\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を ${\rm L}(p;q):=S^{3}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q)$ レンズ空間'''と呼ぶ。<br />
またその他の記号として ${\rm L}(p,q)$ や、その一般化との整合性のため ${\rm L}(p;1,q)$、${\rm L}_{p}(1,q)$ などと書かれることもある。<br />
<br />
* 高次元レンズ空間<br />
同様の方法でより高次元の球に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用をさせることができる。<br />
まず $(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_n)$ を自然数の組であって、$p\geq 2$、どの $i$ についても $p$ と $1\leq q_{i}<p$ は互いに素であるとする。$(2n-1)$ 次元球面($n>2$)も同様に、$\displaystyle S^{2n-1}\colon=\left\{(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})\in{\mathbb{C}}^n \ \middle| \ \sum_{j=1}^{n}|z_{j}|^2=1\right\}$ として ${\mathbb{C}}^n$ の部分空間と見なしておく。すると同様に次のように $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{2n-1}\hspace{3mm}\times\hspace{2mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{5mm}&\to& \hspace{30mm}S^{2n-1} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2},\cdots,z_{n}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2q_{1}m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}m\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}m\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を ${\rm L}(p;q_{1},q_{2,}\cdots,q_{n}):=S^{2n-1}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ レンズ空間'''と呼ぶ。また他の記号として ${\rm L}_{p}(q_{1},q_{1},\cdots,q_{n})$ も使われることがある。<br />
<br />
*コメント:個人的に特にレンズっぽさは感じられないですね<br />
<br />
== 定義から直ちに従うこと ==<br />
*いずれの場合も作用は標準的球面距離に関して[[等長写像|等長]]かつ[[解析的]](または滑らか)な[[群作用|自由]]な[[群作用|不連続作用]]となっており、自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to {\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は $S^{2n-1}$ の[[単連結空間|単連結性]]から $p$ 次の[[被覆空間|普遍被覆写像]]であり、特に[[主$G$束|主$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$束]]となっている。この解析的(またはなめらか)な作用により ${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は解析的(またはなめらかな) 向きづけ可能 $(2n-1)$ 次元閉多様体になり球面距離から自然に[[距離空間|距離]]、[[リーマン計量]]が誘導される。<br />
<br />
<br />
* $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[自己同型群|自己同型写像]]を合成してから作用させても得られる空間は同じものであることがわかる。これは「 $p$ と互いに素な自然数 $r$ に対して、 ${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})={\rm L}(p;rq_{1},rq_{2},\cdots,rq_{n})$ と同一のものが得られる」という形で定式化される。また特に $n=2$ の時 ${\rm L}(p;q_{1},q_{n})$ を考えると、$q_{1}+p\mathbb{Z}$ は $p$ と $q_{1}$ が互いに素であるから $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ において乗法逆元を持つことに注意する。つまり、ある自然数 $r$ が存在し $rq_{1}\equiv 1 (\rm{mod} \ p)$ となるものが存在する。従って ${\rm L}(p;q_{1},q_{2})={\rm L}(p;rq_{1},rq_{2})={\rm L}(p;1,rq_{2})={\rm L}(p;rq_{2})$ と $3$ 次元の時の定義で十分であることがわかる。<br />
<br />
<br />
* 成分を入れ替えを考えることで微分同相なものが得られる。これは「置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ に対して ${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q_{\sigma(1)},q_{\sigma(2)},\cdots,q_{\sigma(n)})$ は $[(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})]\mapsto [(z_{\sigma(1)},z_{\sigma(2)},\cdots,z_{\sigma(n)})]$ によって自然に微分同相となる」という形で定式化される。$n=2$ の時、特に上の結果と合わせることで ${\rm L}(p;q)={\rm L}(p;1,q)={\rm L}(p;q^{-1},1)\cong {\rm L}(p;1,q^{-1})={\rm L}(p;q^{-1})$ を得る(ただし $q^{-1}$ は ${\rm mod} \ p$ における $q$ の乗法逆元である。)。<br />
<br />
<br />
* $p=2$ の時、 ${\rm L}(2;1,1,\cdots,1)$ は[[射影空間|実射影空間]] $\mathbb{R}P^{2n-1}$ となる。<br />
<br />
== 主な不変量の値 ==<br />
* [[基本群]] <br />
自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to {\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は普遍被覆であるからこの被覆変換群が基本群となり特に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と同型となる。特に $q_{i}$ によらず $\pi_1({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}),[(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})])\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ であり、その生成元は <br />
\begin{eqnarray}<br />
\large [0,1]&\to& \hspace{15mm}{\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}) \\<br />
t\hspace{3.5mm} &\mapsto& [(z_{1} e^{\frac{2q_{1}t\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}t\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}t\pi}{p}\sqrt{-1}})]<br />
\end{eqnarray}<br />
が表すループが代表元となる。<br />
<br />
* [[ホモトピー群]] <br />
[[弧状連結空間|弧状連結]]であるから $\pi_{0}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ は一点集合である。<br />
$i>1$ に対してはく[[ファイバー束]]の[[ホモトピー完全系列]]の特殊な場合として適用することで $\pi_{i}(S^{2n-1})\cong\pi_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であることがわかり本質的に[[球面のホモトピー群]]を求めることに帰着する。詳しくはそちらも参照されたい。<br />
<br />
* [[ホモロジー群]] <br />
整数係数のホモロジー群は $S^{2n-1}$ の [[CW複体]]の構造であって群作用で保たれるものを具体的に構成することによって計算することができる。もしくは $3$ 次元レンズ空間に対しては後述する[[Dehn手術]]、種数 $1$ の[[Heegaard分解]]と[[Mayer–Vietoris完全系列]]よっても計算できる。<br />
\begin{eqnarray}<br />
&H_{0}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z} \\<br />
&H_{1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\<br />
&H_{2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&\hspace{10mm}\vdots& {} \\<br />
&H_{2n-3}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ <br />
&H_{2n-2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H_{2n-1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z}\\<br />
&H_{i}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \ (i\geq 2n)\\<br />
\end{eqnarray}<br />
($0<i<2n-1$については $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と $\{0\}$ が交互に現れる。)<br />
<br />
* [[コホモロジー群]] <br />
整数係数コホモロジー群は[[Poincaré双対性]]によって $H^{j}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{(2n-1)-j}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ で計算でき次のようになる。<br />
\begin{eqnarray}<br />
&H^{0}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z} \\<br />
&H^{1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H^{2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\<br />
&\hspace{10mm}\vdots& {} \\<br />
&H^{2n-1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H^{2n-2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ <br />
&H^{2n-1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z}\\<br />
&H^{i}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \ (i\geq 2n)\\<br />
\end{eqnarray}<br />
($0<i<2n-1$については $\{0\}$ と $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ が交互に現れる。)<br />
<br />
<br />
== ホモトピー不変量とレンズ空間の分類 ==<br />
上のようにレンズ空間の代表的なホモトピー不変量は $p$ によって決まり $q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}$ によらない。異なる $q_i$ に対して[[ホモトピー|ホモトピー同値]]でないようなものが存在すればそれらは上のような不変量で見分けられないことがわかる。そして実際にそのようなものが存在する。([[Whiteheadの定理]]も参照されたい。)またレンズ空間についてはさまざまに分類が既になされている。<br />
<br />
*ホモトピー同値(P. Olum)<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}q_{i}\equiv \pm\prod_{i=1}^{n}kq'_{i}\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相(E. J. Brody)<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv \pm kq'_{\sigma(i)}\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
($\pm$ は $i$ に依存してよい。)<br />
<br />
*微分同相(十分条件)<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が微分同相」 $\Longleftarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv kq'_{\sigma(i)}\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
<br />
*[[PL同相]](W. Franz, G. de Rham)<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がPL同相」$\Longleftrightarrow$ 「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
*[[H-コボルディズム|H-コボルダント]](M. F. Atiyah, R. Bott)<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がH-コボルダント」$\Longleftrightarrow$ 「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
またこれらを $3$ 次元の時にまとめると次のようになる。($3$ 次元多様体においては同相、微分同相、PL同相は互いに同値であることに注意されたい。)<br />
*ホモトピー同値<br />
「${\rm L}(p;q)$ と ${\rm L}(p';q')$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ q\equiv \pm k^2q'\ \ ({\rm mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ qq'\equiv \pm (kq')^2\ \ ({\rm mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k'$ が存在して$ qq'\equiv \pm {k'}^2\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相、微分同相、PL同相、H-コボルダント<br />
「${\rm L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ が同相、微分同相、PL同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して、 $(1\equiv\pm k1\land q\equiv\pm kq')\lor (1\equiv\pm kq'\land q\equiv\pm k1) \ \ ({\rm mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm q')\lor(1\equiv\pm qq')\ \ ({\rm mod}\ p)$」$\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm {q'}^{\pm 1})\ \ ({\rm mod}\ p)$ 」 (全て $\pm$ は独立)<br />
<br />
上記のホモトピー不変量とこれらの分類により、<br />
* ${\rm L}(2;1)$ と ${\rm L}(3;1)$ は基本群、ホモトピー群、(コ)ホモロジー群が異なりホモトピー同値でない。<br />
* ${\rm L}(5;1)$ と ${\rm L}(5;2)$ は基本群、ホモトピー群、(コ)ホモロジー群が一致するが、ホモトピー同値ではない。<br />
* ${\rm L}(7;1)$ と ${\rm L}(7;2)$ はホモトピー同値だが、同相、微分同相、PL同相、H-コボルダントでない。<br />
* ${\rm L}(7;2)$ と ${\rm L}(7;3)$ は同相、微分同相、PL同相、H-コボルダント。<br />
であることがわかる。<br />
<br />
<br />
== $3$ 次元レンズ空間と[[Dehn手術]]、種数 $1$ の[[Heegaard分解]] ==<br />
${\rm L}(p;q)$ は二つの[[ソリッドトーラス]]を境界で張り合わせることができる。具体的には二つのソリッドトーラスの一方に標準的な[[ロンジチュード]]、もう一方のソリッドトーラス上に傾き $\pm \frac{p}{q}$ で得られる閉曲線を設定しておく。この二つの直線を張り合わせるように境界を張り合わせると ${\rm L}(p;q)$ が得られる。これは逆に以下えれば $\rm{L}(p;q)$ の種数 $1$ のHeegard分解を与えている。これは同様にDehn手術によって言い換えることができる。$S^3$ 内の[[自明な結び目]]に沿った係数 $\pm \frac{p}{q}$ によるDehn手術によって ${\rm L}(p;q)$ が得られる。また $\pm \frac{p}{q}$ の[[連分数展開]]と[[スラムダンク操作]]を繰り返すことによって自明な結び目からなる鎖状の絡み目に沿った整数手術に書き換えることができる。具体的には $\frac{p}{q}$ の連分数展開を $[a_{0};a_1,a_{2},\cdots,a_{N}]$ とすると、自明な結び目からなる鎖状の $N+1$ 成分絡み目に端から順に係数 $a_{0},a_{1},\cdots,a_{N}$ としたものに書き換えることができる。(図を入れる。)<br />
<br />
== [[Eilenberg–MacLane空間]]としての無限次元レンズ空間 ==<br />
以下で定義される'''無限次元レンズ空間'''は[[離散群]] $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[分類空間]]、つまり $K(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},1)$ Eilenberg–MacLane空間になっている。主に二つの構成方法がある。<br />
$\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}$ を $p$ と互いに素な数の列($1\leq q_{i}<p$)としておく(ここで、数列の取り方は任意である)。<br />
*ここで $k<l$ に対して自然な包含写像 ${\rm L}(p,q_{1},q_{2},\cdots,q_{k})\hookrightarrow {\rm L}(p,q_{1},q_{2},\cdots,q_{l})$ が定まる。この[[帰納系]]によって無限次元レンズ空間 ${\rm L}(p;\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}})\colon=\underset{\underset{i\in\mathbb{N}}{\longrightarrow}}{\lim}{\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{i})$が定義され、同様に商写像について帰納極限を取ることで $\pi\colon\underset{\underset{i\in\mathbb{N}}{\longrightarrow}}{\lim}S^{2i-1}=\colon S^{\infty}\to {\rm L}(p,\{q_{i}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}})$ が定まりこの写像が $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の分類空間を与えている。<br />
<br />
*複素数からなる数列 $\{z_{i}\}_{i\in \mathbb{N}}$ であって有限個を除いた成分が全て $0$ であるようなもの全体の空間を考えこの空間の単位球面、つまり $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}{z_{i}}^2=1$ 全体がを $S^{\infty}$ で表すこととする。ここで $S^{\infty}$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を各成分ごとに $\large (\{z_{i}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}},m+p\mathbb{Z})\mapsto \{z_{i}e^{\frac{2q_{i}m\pi}{p}\sqrt{-1}}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}}$ として作用を入れる。これによる商空間および商写像を考えることができ、$\pi\colon S^{\infty} \to S^{\infty}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=\colon {\rm L}(p;\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}})$ が定まる。この写像が $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の分類空間を与えている。<br />
<br />
以上の構成において効いている性質は「無限次元球面は[[可縮空間|可縮]]である」ということである。またEilenberg–MacLane空間および分類空間のホモトピー一意性から、どのような数列をとってから構成しても互いにホモトピー同値となる。特に $\rm{L}(p;\{1\}_{i\in\mathbb{N}})$ を考えれば十分であり、このホモトピー同値の違いを除いて $p$ に対する無限次元レンズ空間を ${\rm L}_{p}^{\infty}$ などで表すことがある。<br />
また $p=2$ の時、${\rm L}_{2}^{\infty}$ は無限次元実射影空間 $\mathbb{R}P^{\infty}$ となる。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[$n$次元球面]]<br />
* [[射影空間]]<br />
* [[Dehn手術]]<br />
* [[Heegaard分解]]<br />
* [[ホモロジー群]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[Whiteheadの定理]]<br />
* [[Eilenberg–MacLane空間]]<br />
* [[分類空間]]<br />
<br />
====== 参考文献 ======<br />
<references /><br />
* Paul Olum, ''Mappings of Manifolds and the Notion of Degree'', [https://www.jstor.org/stable/1969748 Ann. of Math(2), Vol. 58, No. 3 (Nov., 1953), 458-480]<br />
* E. J. Brod, ''The Topological Classification of the Lens Spaces'', [https://www.jstor.org/stable/1969884 Ann. of Math(2) Vol. 71, No. 1 (Jan., 1960), 163-184]<br />
* Franz, W., ''Über die Torsion einer Überdeckung'' [https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crll.1935.173.245/html Journ. f. Math. 173, 245-254 (1935). ]<br />
* G. de Rham, ''Sur les nouveaux invariants topologiques de M. Reidemeister'', [http://www.mathnet.ru/links/be29aaba39a42788afab0cabc39dfd3b/sm5486.pdf Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S., 1936, Vol. 1(43), No. 5, 737–743]<br />
* M. F. Atiyah, R. Bott, ''A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: II. Applications'', [https://www.jstor.org/stable/1970721 Ann. of Math(2), Vol. 88, No. 3 (Nov., 1968), 451-491]</div>
ぱなむー
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トーク:レンズ空間
2021-05-06T11:16:10Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div><br />
* [[レンズ空間#レンズ空間]]にて「ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。」とありますが、これはどのようなことを意味していますでしょうか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:32 (JST)<br />
<br />
>ここで指しているのは「多様体は基本群、ホモトピー群、ホモロジー群、コホモロジー群だけでは完全に分類することができない」というものの簡単な例になっているということです。例えば $\rm{L}(5;1),\rm{L}(5;2)$は上記の不変量が全て同じであるにもかかわらず同相どころかホモトピー同値ですらないです。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
* [[レンズ空間#定義]]にて、高次元レンズ空間の定義のなかで $2n-1$-次元球面を群作用によって割っていますが、ここで $n = 1$ のケースは想定されていますか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:35 (JST)<br />
<br />
> $n=1$ についても定義自体は破綻しませんが、ここで想定しているのは $n>2$ です。あとで加筆しておきます。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
** $n = 1$ の場合、$S^1$ は単連結でないため $S^{2n-1}$ の単連結性に言及している箇所においては $n \geq 2$ の仮定が必要だと考えます。 --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:58 (JST)<br />
<br />
* [[レンズ空間#定義から直ちに従うこと]]にて、作用が不連続との記述がありますがどの点で不連続となりますのでしょうか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:42 (JST)<br />
<br />
>ここでの不連続の意味は真正不連続、固有不連続等の文脈で現れる不連続であり、ここでの意味としては軌道が集積点を持たないことを指しています(有限群作用なのでそれはそうなのですが。)。作用そのものは可微分同相写像として作用しています。したがって作用の連続性の文脈においてはこの作用は連続です。(この曖昧な部分は群作用のページ作る際にまとめようと思っています。)おかしな語の並びに見えますが連続な不連続作用という状態です。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
<br />
* [[レンズ空間#定義から直ちに従うこと]]にて、レンズ空間に解析的な多様体構造を入れることができるという事実はなにによるものでしょうか(指示語の意図が明瞭でないように感じました)。 --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:44 (JST)<br />
<br />
>これは解析的な微分同相写像としての作用であることから従います。具体的には得られる被覆写像によって商空間にチャートが定義するという方法によって微分構造を定めます。作り方から座標変換は元の $S^{2n-1}$ の解析的構造を引き継いでいます。(曖昧さについては訂正させていただきます。)—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
<br />
* [[レンズ空間#主な不変量の値]]にて、$2n-1$-次元のレンズ空間について $(2n-1)-j$ 次のホモロジー群と $j$ 次のホモロジー群の同型は何故導かれるのでしょうか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:49 (JST)<br />
<br />
>これは私の勘違いでした、訂正しました。--[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 09:39 (JST)<br />
<br />
<br />
* ところでレンズ空間にはCW複体構造は入るのでしょうか(入る場合、弱ホモトピー同値とホモトピー同値がCW複体間で同値であることより、ホモトピー同値に関する言及などをもうすこし緩い見た目に記述できると思いました(実質的にはなにも変わらないですが))？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:59 (JST)<br />
<br />
>CW複体構造は入ります。この記事には明記していませんが作用で保たれる $S^{2n-1}$ のCW複体構造を構成しそこから誘導されるCW複体構造がレンズ空間に定まります。したがってある連続写像ホモトピー群の同型がえられることとその連続写像がホモトピー同値写像であることが同値となります。弱ホモトピー同値写像同型が連続写像によって誘導されない限りはこの定理は使えません。緩い見た目が何を指しているかは少しわかりませんでした。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
<br />
* [[レンズ空間#Eilenberg–MacLane空間としての無限次元レンズ空間]]にて、「以上の構成において効いている性質は「無限次元球面は[[可縮空間|可縮]]である」ということである。」との記述がありますが、これはどのようなことを主張していますか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:09 (JST)<br />
<br />
>これは分類空間の定義に定義域の部分の可縮性が求められていることによるものです。有次元球面が可縮でないこととは対照的に無限次元球面が可縮となるという事実を強調するためこのような書き方となりました。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
<br />
== 記法に関する事項 ==<br />
* [[レンズ空間#定義]]にて、rmコマンドの影響で $p$ の文字のフォントが変質している部分があります(意図的なものではないと思い指摘させていただきます)。 --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:39 (JST)<br />
<br />
>ご指摘ありがとうございます。訂正しました。--[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月6日 (木) 20:16 (JST)<br />
<br />
== 文献情報について ==<br />
* [[レンズ空間#ホモトピー不変量とレンズ空間の分類]]にて記されているいくつかの結果について、文献情報などを明示していただければ幸いです。 --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:56 (JST)<br />
<br />
>ご指摘ありがとうございます。追加しました。--[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月6日 (木) 20:16 (JST)</div>
ぱなむー
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レンズ空間
2021-05-06T11:10:01Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div><noinclude><br />
<br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--><br />
</noinclude><br />
== レンズ空間 ==<br />
'''レンズ空間（lens space)''' とは、基本的な $3$ 次元閉多様体の一つであり、ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。またはその一般化を含めてレンズ空間と呼ぶこともある。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
* ($3$ 次元)レンズ空間<br />
まず $(p,q)$ を互いに素な自然数の組($p\geq2,1\leq q<p$)とし、[[$n$次元球面|$3$ 次元球面]] $S^3$を $S^3\colon=\left\{(z_{1},z_{2})\in{\mathbb{C}}^2 \ \middle| \ |z_{1}|^2+|z_{2}|^{2}=1\right\}$ と ${\mathbb{C}}^2$ の部分空間と見なしておく。すると次のように $S^3$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を[[作用]] させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{3}\hspace{1mm}\times\hspace{1mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{4mm}&\to& \hspace{16mm}S^{3} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2qm\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を ${\rm L}(p;q):=S^{3}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q)$ レンズ空間'''と呼ぶ。<br />
またその他の記号として ${\rm L}(p,q)$ や、その一般化との整合性のため ${\rm L}(p;1,q)$、${\rm L}_{p}(1,q)$ などと書かれることもある。<br />
<br />
* 高次元レンズ空間<br />
同様の方法でより高次元の球に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用をさせることができる。<br />
まず $(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_n)$ を自然数の組であって、$p\geq 2$、どの $i$ についても $p$ と $1\leq q_{i}<p$ は互いに素であるとする。$(2n-1)$ 次元球面($n>2$)も同様に、$\displaystyle S^{2n-1}\colon=\left\{(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})\in{\mathbb{C}}^n \ \middle| \ \sum_{j=1}^{n}|z_{j}|^2=1\right\}$ として ${\mathbb{C}}^n$ の部分空間と見なしておく。すると同様に次のように $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{2n-1}\hspace{3mm}\times\hspace{2mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{5mm}&\to& \hspace{30mm}S^{2n-1} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2},\cdots,z_{n}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2q_{1}m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}m\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}m\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を ${\rm L}(p;q_{1},q_{2,}\cdots,q_{n}):=S^{2n-1}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ レンズ空間'''と呼ぶ。また他の記号として ${\rm L}_{p}(q_{1},q_{1},\cdots,q_{n})$ も使われることがある。<br />
<br />
*コメント:個人的に特にレンズっぽさは感じられないですね<br />
<br />
== 定義から直ちに従うこと ==<br />
*いずれの場合も作用は標準的球面距離に関して[[等長写像|等長]]かつ[[解析的]]な[[群作用|自由]]な[[群作用|不連続作用]]となっており、自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to {\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は $S^{2n-1}$ の[[単連結空間|単連結性]]から $p$ 次の[[被覆空間|普遍被覆写像]]であり、特に[[主$G$束|主$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$束]]となっている。これにより ${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は解析的(またはなめらかな) 向きづけ可能 $(2n-1)$ 次元閉多様体になり球面距離から自然に距離が定まる。<br />
<br />
<br />
* $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[自己同型群|自己同型写像]]を合成してから作用させても得られる空間は同じものであることがわかる。これは「 $p$ と互いに素な自然数 $r$ に対して、 ${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})={\rm L}(p;rq_{1},rq_{2},\cdots,rq_{n})$ と同一のものが得られる」という形で定式化される。また特に $n=2$ の時 ${\rm L}(p;q_{1},q_{n})$ を考えると、$q_{1}+p\mathbb{Z}$ は $p$ と $q_{1}$ が互いに素であるから $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ において乗法逆元を持つことに注意する。つまり、ある自然数 $r$ が存在し $rq_{1}\equiv 1 (\rm{mod} \ p)$ となるものが存在する。従って ${\rm L}(p;q_{1},q_{2})={\rm L}(p;rq_{1},rq_{2})={\rm L}(p;1,rq_{2})={\rm L}(p;rq_{2})$ と $3$ 次元の時の定義で十分であることがわかる。<br />
<br />
<br />
* 成分を入れ替えを考えることで微分同相なものが得られる。これは「置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ に対して ${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q_{\sigma(1)},q_{\sigma(2)},\cdots,q_{\sigma(n)})$ は $[(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})]\mapsto [(z_{\sigma(1)},z_{\sigma(2)},\cdots,z_{\sigma(n)})]$ によって自然に微分同相となる」という形で定式化される。$n=2$ の時、特に上の結果と合わせることで ${\rm L}(p;q)={\rm L}(p;1,q)={\rm L}(p;q^{-1},1)\cong {\rm L}(p;1,q^{-1})={\rm L}(p;q^{-1})$ を得る(ただし $q^{-1}$ は ${\rm mod} \ p$ における $q$ の乗法逆元である。)。<br />
<br />
<br />
* $p=2$ の時、 ${\rm L}(2;1,1,\cdots,1)$ は[[射影空間|実射影空間]] $\mathbb{R}P^{2n-1}$ となる。<br />
<br />
== 主な不変量の値 ==<br />
* [[基本群]] <br />
自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to {\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は普遍被覆であるからこの被覆変換群が基本群となり特に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と同型となる。特に $q_{i}$ によらず $\pi_1({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}),[(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})])\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ であり、その生成元は <br />
\begin{eqnarray}<br />
\large [0,1]&\to& \hspace{15mm}{\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}) \\<br />
t\hspace{3.5mm} &\mapsto& [(z_{1} e^{\frac{2q_{1}t\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}t\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}t\pi}{p}\sqrt{-1}})]<br />
\end{eqnarray}<br />
が表すループが代表元となる。<br />
<br />
* [[ホモトピー群]] <br />
[[弧状連結空間|弧状連結]]であるから $\pi_{0}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ は一点集合である。<br />
$i>1$ に対してはく[[ファイバー束]]の[[ホモトピー完全系列]]の特殊な場合として適用することで $\pi_{i}(S^{2n-1})\cong\pi_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であることがわかり本質的に[[球面のホモトピー群]]を求めることに帰着する。詳しくはそちらも参照されたい。<br />
<br />
* [[ホモロジー群]] <br />
整数係数のホモロジー群は $S^{2n-1}$ の [[CW複体]]の構造であって群作用で保たれるものを具体的に構成することによって計算することができる。もしくは $3$ 次元レンズ空間に対しては後述する[[Dehn手術]]、種数 $1$ の[[Heegaard分解]]と[[Mayer–Vietoris完全系列]]よっても計算できる。<br />
\begin{eqnarray}<br />
&H_{0}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z} \\<br />
&H_{1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\<br />
&H_{2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&\hspace{10mm}\vdots& {} \\<br />
&H_{2n-3}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ <br />
&H_{2n-2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H_{2n-1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z}\\<br />
&H_{i}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \ (i\geq 2n)\\<br />
\end{eqnarray}<br />
($0<i<2n-1$については $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と $\{0\}$ が交互に現れる。)<br />
<br />
* [[コホモロジー群]] <br />
整数係数コホモロジー群は[[Poincaré双対性]]によって $H^{j}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{(2n-1)-j}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ で計算でき次のようになる。<br />
\begin{eqnarray}<br />
&H^{0}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z} \\<br />
&H^{1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H^{2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\<br />
&\hspace{10mm}\vdots& {} \\<br />
&H^{2n-1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H^{2n-2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ <br />
&H^{2n-1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z}\\<br />
&H^{i}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \ (i\geq 2n)\\<br />
\end{eqnarray}<br />
($0<i<2n-1$については $\{0\}$ と $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ が交互に現れる。)<br />
<br />
<br />
== ホモトピー不変量とレンズ空間の分類 ==<br />
上のようにレンズ空間の代表的なホモトピー不変量は $p$ によって決まり $q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}$ によらない。異なる $q_i$ に対して[[ホモトピー|ホモトピー同値]]でないようなものが存在すればそれらは上のような不変量で見分けられないことがわかる。そして実際にそのようなものが存在する。([[Whiteheadの定理]]も参照されたい。)またレンズ空間についてはさまざまに分類が既になされている。<br />
<br />
*ホモトピー同値(P. Olum)<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}q_{i}\equiv \pm\prod_{i=1}^{n}kq'_{i}\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相(E. J. Brody)<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv \pm kq'_{\sigma(i)}\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
($\pm$ は $i$ に依存してよい。)<br />
<br />
*微分同相(十分条件)<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が微分同相」 $\Longleftarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv kq'_{\sigma(i)}\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
<br />
*[[PL同相]](W. Franz, G. de Rham)<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がPL同相」$\Longleftrightarrow$ 「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
*[[H-コボルディズム|H-コボルダント]](M. F. Atiyah, R. Bott)<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p;q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がH-コボルダント」$\Longleftrightarrow$ 「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
またこれらを $3$ 次元の時にまとめると次のようになる。($3$ 次元多様体においては同相、微分同相、PL同相は互いに同値であることに注意されたい。)<br />
*ホモトピー同値<br />
「${\rm L}(p;q)$ と ${\rm L}(p';q')$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ q\equiv \pm k^2q'\ \ ({\rm mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ qq'\equiv \pm (kq')^2\ \ ({\rm mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k'$ が存在して$ qq'\equiv \pm {k'}^2\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相、微分同相、PL同相、H-コボルダント<br />
「${\rm L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ が同相、微分同相、PL同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して、 $(1\equiv\pm k1\land q\equiv\pm kq')\lor (1\equiv\pm kq'\land q\equiv\pm k1) \ \ ({\rm mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm q')\lor(1\equiv\pm qq')\ \ ({\rm mod}\ p)$」$\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm {q'}^{\pm 1})\ \ ({\rm mod}\ p)$ 」 (全て $\pm$ は独立)<br />
<br />
上記のホモトピー不変量とこれらの分類により、<br />
* ${\rm L}(2;1)$ と ${\rm L}(3;1)$ は基本群、ホモトピー群、(コ)ホモロジー群が異なりホモトピー同値でない。<br />
* ${\rm L}(5;1)$ と ${\rm L}(5;2)$ は基本群、ホモトピー群、(コ)ホモロジー群が一致するが、ホモトピー同値ではない。<br />
* ${\rm L}(7;1)$ と ${\rm L}(7;2)$ はホモトピー同値だが、同相、微分同相、PL同相、H-コボルダントでない。<br />
* ${\rm L}(7;2)$ と ${\rm L}(7;3)$ は同相、微分同相、PL同相、H-コボルダント。<br />
であることがわかる。<br />
<br />
<br />
== $3$ 次元レンズ空間と[[Dehn手術]]、種数 $1$ の[[Heegaard分解]] ==<br />
${\rm L}(p;q)$ は二つの[[ソリッドトーラス]]を境界で張り合わせることができる。具体的には二つのソリッドトーラスの一方に標準的な[[ロンジチュード]]、もう一方のソリッドトーラス上に傾き $\pm \frac{p}{q}$ で得られる閉曲線を設定しておく。この二つの直線を張り合わせるように境界を張り合わせると ${\rm L}(p;q)$ が得られる。これは逆に以下えれば $\rm{L}(p;q)$ の種数 $1$ のHeegard分解を与えている。これは同様にDehn手術によって言い換えることができる。$S^3$ 内の[[自明な結び目]]に沿った係数 $\pm \frac{p}{q}$ によるDehn手術によって ${\rm L}(p;q)$ が得られる。また $\pm \frac{p}{q}$ の[[連分数展開]]と[[スラムダンク操作]]を繰り返すことによって自明な結び目からなる鎖状の絡み目に沿った整数手術に書き換えることができる。具体的には $\frac{p}{q}$ の連分数展開を $[a_{0};a_1,a_{2},\cdots,a_{N}]$ とすると、自明な結び目からなる鎖状の $N+1$ 成分絡み目に端から順に係数 $a_{0},a_{1},\cdots,a_{N}$ としたものに書き換えることができる。(図を入れる。)<br />
<br />
== [[Eilenberg–MacLane空間]]としての無限次元レンズ空間 ==<br />
以下で定義される'''無限次元レンズ空間'''は[[離散群]] $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[分類空間]]、つまり $K(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},1)$ Eilenberg–MacLane空間になっている。主に二つの構成方法がある。<br />
$\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}$ を $p$ と互いに素な数の列($1\leq q_{i}<p$)としておく(ここで、数列の取り方は任意である)。<br />
*ここで $k<l$ に対して自然な包含写像 ${\rm L}(p,q_{1},q_{2},\cdots,q_{k})\hookrightarrow {\rm L}(p,q_{1},q_{2},\cdots,q_{l})$ が定まる。この[[帰納系]]によって無限次元レンズ空間 ${\rm L}(p;\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}})\colon=\underset{\underset{i\in\mathbb{N}}{\longrightarrow}}{\lim}{\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{i})$が定義され、同様に商写像について帰納極限を取ることで $\pi\colon\underset{\underset{i\in\mathbb{N}}{\longrightarrow}}{\lim}S^{2i-1}=\colon S^{\infty}\to {\rm L}(p,\{q_{i}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}})$ が定まりこの写像が $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の分類空間を与えている。<br />
<br />
*複素数からなる数列 $\{z_{i}\}_{i\in \mathbb{N}}$ であって有限個を除いた成分が全て $0$ であるようなもの全体の空間を考えこの空間の単位球面、つまり $\displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}{z_{i}}^2=1$ 全体がを $S^{\infty}$ で表すこととする。ここで $S^{\infty}$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を各成分ごとに $\large (\{z_{i}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}},m+p\mathbb{Z})\mapsto \{z_{i}e^{\frac{2q_{i}m\pi}{p}\sqrt{-1}}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}}$ として作用を入れる。これによる商空間および商写像を考えることができ、$\pi\colon S^{\infty} \to S^{\infty}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=\colon {\rm L}(p;\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}})$ が定まる。この写像が $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の分類空間を与えている。<br />
<br />
以上の構成において効いている性質は「無限次元球面は[[可縮空間|可縮]]である」ということである。またEilenberg–MacLane空間および分類空間のホモトピー一意性から、どのような数列をとってから構成しても互いにホモトピー同値となる。特に $\rm{L}(p;\{1\}_{i\in\mathbb{N}})$ を考えれば十分であり、このホモトピー同値の違いを除いて $p$ に対する無限次元レンズ空間を ${\rm L}_{p}^{\infty}$ などで表すことがある。<br />
また $p=2$ の時、${\rm L}_{2}^{\infty}$ は無限次元実射影空間 $\mathbb{R}P^{\infty}$ となる。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[$n$次元球面]]<br />
* [[射影空間]]<br />
* [[Dehn手術]]<br />
* [[Heegaard分解]]<br />
* [[ホモロジー群]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[Whiteheadの定理]]<br />
* [[Eilenberg–MacLane空間]]<br />
* [[分類空間]]<br />
<br />
====== 参考文献 ======<br />
<references /><br />
* Paul Olum, ''Mappings of Manifolds and the Notion of Degree'', [https://www.jstor.org/stable/1969748 Ann. of Math(2), Vol. 58, No. 3 (Nov., 1953), 458-480]<br />
* E. J. Brod, ''The Topological Classification of the Lens Spaces'', [https://www.jstor.org/stable/1969884 Ann. of Math(2) Vol. 71, No. 1 (Jan., 1960), 163-184]<br />
* Franz, W., ''Über die Torsion einer Überdeckung'' [https://www.degruyter.com/document/doi/10.1515/crll.1935.173.245/html Journ. f. Math. 173, 245-254 (1935). ]<br />
* G. de Rham, ''Sur les nouveaux invariants topologiques de M. Reidemeister'', [http://www.mathnet.ru/links/be29aaba39a42788afab0cabc39dfd3b/sm5486.pdf Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S., 1936, Vol. 1(43), No. 5, 737–743]<br />
* M. F. Atiyah, R. Bott, ''A Lefschetz Fixed Point Formula for Elliptic Complexes: II. Applications'', [https://www.jstor.org/stable/1970721 Ann. of Math(2), Vol. 88, No. 3 (Nov., 1968), 451-491]</div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%BA%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=5942
レンズ空間
2021-05-04T01:04:47Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div><noinclude><br />
<br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--><br />
</noinclude><br />
== レンズ空間 ==<br />
'''レンズ空間（lens space)''' とは、基本的な $3$ 次元閉多様体の一つであり、ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。またはその一般化を含めてレンズ空間と呼ぶこともある。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
* ($3$ 次元)レンズ空間<br />
まず $(p,q)$ を互いに素な自然数の組($p\geq2,1\leq q<p$)とし、[[$n$次元球面|$3$ 次元球面]] $S^3$を $S^3\colon=\left\{(z_{1},z_{2})\in{\mathbb{C}}^2 \ \middle| \ |z_{1}|^2+|z_{2}|^{2}=1\right\}$ と ${\mathbb{C}}^2$ の部分空間と見なしておく。すると次のように $S^3$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を[[作用]] させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{3}\hspace{1mm}\times\hspace{1mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{4mm}&\to& \hspace{16mm}S^{3} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2qm\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を ${\rm L}(p;q):=S^{3}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q)$ レンズ空間'''と呼ぶ。<br />
またその他の記号として ${\rm L}(p,q)$ や、その一般化との整合性のため ${\rm L}(p;1,q)$、${\rm L}_{p}(1,q)$ などと書かれることもある。<br />
<br />
* 高次元レンズ空間<br />
同様の方法でより高次元の球に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用をさせることができる。<br />
まず $(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_n)$ を自然数の組であって、$p\geq 2$、どの $i$ についても $p$ と $1\leq q_{i}<p$ は互いに素であるとする。$(2n-1)$ 次元球面($n>2$)も同様に、$\displaystyle S^{2n-1}\colon=\left\{(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})\in{\mathbb{C}}^n \ \middle| \ \sum_{j=1}^{n}|z_{j}|^2=1\right\}$ として ${\mathbb{C}}^n$ の部分空間と見なしておく。すると同様に次のように $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{2n-1}\hspace{3mm}\times\hspace{2mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{5mm}&\to& \hspace{30mm}S^{2n-1} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2},\cdots,z_{n}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2q_{1}m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}m\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}m\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を ${\rm L}(p;q_{1},q_{2,}\cdots,q_{n}):=S^{2n-1}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ レンズ空間'''と呼ぶ。また他の記号として ${\rm L}_{p}(q_{1},q_{1},\cdots,q_{n})$ も使われることがある。<br />
<br />
*コメント:個人的に特にレンズっぽさは感じられないですね<br />
<br />
== 定義から直ちに従うこと ==<br />
*いずれの場合も作用は標準的球面距離に関して[[等長写像|等長]]かつ[[解析的]]な[[群作用|自由]]な[[群作用|不連続作用]]となっており、自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to {\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は $S^{2n-1}$ の[[単連結空間|単連結性]]から $p$ 次の[[被覆空間|普遍被覆写像]]であり、特に[[主$G$束|主$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$束]]となっている。これにより ${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は解析的(またはなめらかな) 向きづけ可能 $(2n-1)$ 次元閉多様体になり球面距離から自然に距離が定まる。<br />
<br />
* $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[自己同型群|自己同型写像]]を合成してから作用させても得られる空間は同じものであることがわかる。これは「 $p$ と互いに素な自然数 $r$ に対して、 ${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})={\rm L}(p;rq_{1},rq_{2},\cdots,rq_{n})$ と同一のものが得られる」という形で定式化される。また特に $n=2$ の時 ${\rm L}(p;q_{1},q_{n})$ を考えると、$q_{1}+p\mathbb{Z}$ は $p$ と $q_{1}$ が互いに素であるから $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ において乗法逆元を持つことに注意する。つまり、ある自然数 $r$ が存在し $rq_{1}\equiv 1 (\rm{mod} \ p)$ となるものが存在する。従って ${\rm L}(p;q_{1},q_{2})={\rm L}(p;rq_{1},rq_{2})={\rm L}(p;1,rq_{2})={\rm L}(p;rq_{2})$ と $3$ 次元の時の定義で十分であることがわかる。<br />
<br />
* $p=2$ の時、 ${\rm L}(2;1,1,\cdots,1)$ は[[射影空間|実射影空間]] $\mathbb{R}P^{2n-1}$ となる。<br />
<br />
== 主な不変量の値 ==<br />
* [[基本群]] <br />
自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to {\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は普遍被覆であるからこの被覆変換群が基本群となり特に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と同型となる。特に $q_{i}$ によらず $\pi_1({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}),[(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})])\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ であり、その生成元は <br />
\begin{eqnarray}<br />
\large [0,1]&\to& \hspace{15mm}{\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}) \\<br />
t\hspace{3.5mm} &\mapsto& [(z_{1} e^{\frac{2q_{1}t\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}t\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}t\pi}{p}\sqrt{-1}})]<br />
\end{eqnarray}<br />
が表すループが代表元となる。<br />
<br />
* [[ホモトピー群]] <br />
[[弧状連結空間|弧状連結]]であるから $\pi_{0}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ は一点集合である。<br />
$i>1$ に対してはく[[ファイバー束]]の[[ホモトピー完全系列]]の特殊な場合として適用することで $\pi_{i}(S^{2n-1})\cong\pi_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であることがわかり本質的に[[球面のホモトピー群]]を求めることに帰着する。詳しくはそちらも参照されたい。<br />
<br />
* [[ホモロジー群]] <br />
整数係数のホモロジー群は $S^{2n-1}$ の [[CW複体]]の構造であって群作用で保たれるものを具体的に構成することによって計算することができる。もしくは $3$ 次元レンズ空間に対しては後述する[[Dehn手術]]、種数 $1$ の[[Heegaard分解]]と[[Mayer–Vietoris完全系列]]よっても計算できる。<br />
\begin{eqnarray}<br />
&H_{0}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z} \\<br />
&H_{1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\<br />
&H_{2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&\hspace{10mm}\vdots& {} \\<br />
&H_{2n-3}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ <br />
&H_{2n-2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H_{2n-1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z}\\<br />
&H_{i}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \ (i\geq 2n)\\<br />
\end{eqnarray}<br />
($0<i<2n-1$については $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と $\{0\}$ が交互に現れる。)<br />
<br />
* [[コホモロジー群]] <br />
整数係数コホモロジー群は[[Poincaré双対性]]によって $H^{j}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{(2n-1)-j}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ で計算でき次のようになる。<br />
\begin{eqnarray}<br />
&H^{0}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z} \\<br />
&H^{1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H^{2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\<br />
&\hspace{10mm}\vdots& {} \\<br />
&H^{2n-1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H^{2n-2}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ <br />
&H^{2n-1}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z}\\<br />
&H^{i}({\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \ (i\geq 2n)\\<br />
\end{eqnarray}<br />
($0<i<2n-1$については $\{0\}$ と $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ が交互に現れる。)<br />
<br />
<br />
== ホモトピー不変量とレンズ空間の分類 ==<br />
上のようにレンズ空間の代表的なホモトピー不変量は $p$ によって決まり $q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}$ によらない。異なる $q_i$ に対して[[ホモトピー|ホモトピー同値]]でないようなものが存在すればそれらは上のような不変量で見分けられないことがわかる。そして実際にそのようなものが存在する。([[Whiteheadの定理]]も参照されたい。)またレンズ空間についてはさまざまに分類が既になされている。<br />
<br />
*ホモトピー同値(P. Olum)<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}q_{i}\equiv \pm\prod_{i=1}^{n}kq'_{i}\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相(E. J. Brody)<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv \pm kq'_{\sigma(i)}\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
($\pm$ は $i$ に依存してよい。)<br />
<br />
*微分同相(十分条件)<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が微分同相」 $\Longleftarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv kq'_{\sigma(i)}\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
<br />
*[[PL同相]](W. Franz, G. de Rham)<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がPL同相」$\Longleftrightarrow$ 「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
*[[H-コボルディズム|H-コボルダント]](M. F. Atiyah, R. Bott)<br />
「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がH-コボルダント」$\Longleftrightarrow$ 「${\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と ${\rm L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
またこれらを $3$ 次元の時にまとめると次のようになる。($3$ 次元多様体においては同相、微分同相、PL同相は互いに同値であることに注意されたい。)<br />
*ホモトピー同値<br />
「${\rm L}(p;q)$ と ${\rm L}(p';q')$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ q\equiv \pm k^2q'\ \ ({\rm mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ qq'\equiv \pm (kq')^2\ \ ({\rm mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k'$ が存在して$ qq'\equiv \pm {k'}^2\ \ ({\rm mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相、微分同相、PL同相、H-コボルダント<br />
「${\rm L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ が同相、微分同相、PL同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して、 $(1\equiv\pm k1\land q\equiv\pm kq')\lor (1\equiv\pm kq'\land q\equiv\pm k1) \ \ ({\rm mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm q')\lor(1\equiv\pm qq')\ \ ({\rm mod}\ p)$」$\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm {q'}^{\pm 1})\ \ ({\rm mod}\ p)$ 」 (全て $\pm$ は独立)<br />
<br />
== $3$ 次元レンズ空間と[[Dehn手術]]、種数 $1$ の[[Heegaard分解]] ==<br />
${\rm L}(p;q)$ は二つの[[ソリッドトーラス]]を境界で張り合わせることができる。具体的には二つのソリッドトーラスの一方に標準的な[[ロンジチュード]]、もう一方のソリッドトーラス上に傾き $\pm \frac{p}{q}$ で得られる閉曲線を設定しておく。この二つの直線を張り合わせるように境界を張り合わせると ${\rm L}(p;q)$ が得られる。これは逆に以下えれば $\rm{L}(p;q)$ の種数 $1$ のHeegard分解を与えている。これは同様にDehn手術によって言い換えることができる。$S^3$ 内の[[自明な結び目]]に沿った係数 $\pm \frac{p}{q}$ によるDehn手術によって ${\rm L}(p;q)$ が得られる。また $\pm \frac{p}{q}$ の[[連分数展開]]と[[スラムダンク操作]]を繰り返すことによって自明な結び目からなる鎖状の絡み目に沿った整数手術に書き換えることができる。具体的には $\frac{p}{q}$ の連分数展開を $[a_{0};a_1,a_{2},\cdots,a_{N}]$ とすると、自明な結び目からなる鎖状の $N+1$ 成分絡み目に端から順に係数 $a_{0},a_{1},\cdots,a_{N}$ としたものに書き換えることができる。(図を入れる。)<br />
<br />
== [[Eilenberg–MacLane空間]]としての無限次元レンズ空間 ==<br />
以下で定義される'''無限次元レンズ空間'''は[[離散群]] $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[分類空間]]、つまり $K(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},1)$ Eilenberg–MacLane空間になっている。主に二つの構成方法がある。<br />
$\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}$ を $p$ と互いに素な数の列($1\leq q_{i}<p$)としておく(ここで、数列の取り方は任意である)。<br />
*ここで $k<l$ に対して自然な包含写像 ${\rm L}(p,q_{1},q_{2},\cdots,q_{k})\hookrightarrow {\rm L}(p,q_{1},q_{2},\cdots,q_{l})$ が定まる。この[[帰納系]]によって無限次元レンズ空間 ${\rm L}(p;\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}})\colon=\underset{\underset{i\in\mathbb{N}}{\longrightarrow}}{\lim}{\rm L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{i})$が定義され、同様に商写像について帰納極限を取ることで $\pi\colon\underset{\underset{i\in\mathbb{N}}{\longrightarrow}}{\lim}S^{2i-1}=\colon S^{\infty}\to {\rm L}(p,\{q_{i}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}})$ が定まりこの写像が $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の分類空間を与えている。<br />
<br />
*複素数からなる $\ell^2$ 空間を考えこの空間の単位球面を $S^{\infty}$ で表すこととする。ここで $S^{\infty}$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を各成分ごとに $\large (\{z_{i}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}},m+p\mathbb{Z})\mapsto \{z_{i}e^{\frac{2q_{i}m\pi}{p}\sqrt{-1}}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}}$ として作用を入れる。これによる商空間および商写像を考えることができ、$\pi\colon S^{\infty} \to S^{\infty}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=\colon {\rm L}(p;\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}})$ が定まる。この写像が $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の分類空間を与えている。<br />
<br />
以上の構成において効いている性質は「無限次元球面は[[可縮空間|可縮]]である」ということである。またEilenberg–MacLane空間および分類空間のホモトピー一意性から、どのような数列をとってから構成しても互いにホモトピー同値となる。特に $\rm{L}(p;1,1,1,\cdots)$ を考えれば十分であることがわかる。特に $p=2$ の時、無限次元実射影空間 $\mathbb{R}P^{\infty}$ となる。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[$n$次元球面]]<br />
* [[射影空間]]<br />
* [[Dehn手術]]<br />
* [[Heegaard分解]]<br />
* [[ホモロジー群]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[Whiteheadの定理]]<br />
* [[Eilenberg–MacLane空間]]<br />
* [[分類空間]]<br />
<br />
====== 脚注 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%83%88%E3%83%BC%E3%82%AF:%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%BA%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=5941
トーク:レンズ空間
2021-05-04T00:39:58Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div><br />
* [[レンズ空間#レンズ空間]]にて「ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。」とありますが、これはどのようなことを意味していますでしょうか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:32 (JST)<br />
<br />
>ここで指しているのは「多様体は基本群、ホモトピー群、ホモロジー群、コホモロジー群だけでは完全に分類することができない」というものの簡単な例になっているということです。例えば $\rm{L}(5;1),\rm{L}(5;2)$は上記の不変量が全て同じであるにもかかわらず同相どころかホモトピー同値ですらないです。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
* [[レンズ空間#定義]]にて、高次元レンズ空間の定義のなかで $2n-1$-次元球面を群作用によって割っていますが、ここで $n = 1$ のケースは想定されていますか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:35 (JST)<br />
<br />
> $n=1$ についても定義自体は破綻しませんが、ここで想定しているのは $n>2$ です。あとで加筆しておきます。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
** $n = 1$ の場合、$S^1$ は単連結でないため $S^{2n-1}$ の単連結性に言及している箇所においては $n \geq 2$ の仮定が必要だと考えます。 --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:58 (JST)<br />
<br />
* [[レンズ空間#定義から直ちに従うこと]]にて、作用が不連続との記述がありますがどの点で不連続となりますのでしょうか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:42 (JST)<br />
<br />
>ここでの不連続の意味は真正不連続、固有不連続等の文脈で現れる不連続であり、ここでの意味としては軌道が集積点を持たないことを指しています(有限群作用なのでそれはそうなのですが。)。作用そのものは可微分同相写像として作用しています。したがって作用の連続性の文脈においてはこの作用は連続です。(この曖昧な部分は群作用のページ作る際にまとめようと思っています。)おかしな語の並びに見えますが連続な不連続作用という状態です。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
<br />
* [[レンズ空間#定義から直ちに従うこと]]にて、レンズ空間に解析的な多様体構造を入れることができるという事実はなにによるものでしょうか(指示語の意図が明瞭でないように感じました)。 --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:44 (JST)<br />
<br />
>これは解析的な微分同相写像としての作用であることから従います。具体的には得られる被覆写像によって商空間にチャートが定義するという方法によって微分構造を定めます。作り方から座標変換は元の $S^{2n-1}$ の解析的構造を引き継いでいます。(曖昧さについては訂正させていただきます。)—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
<br />
* [[レンズ空間#主な不変量の値]]にて、$2n-1$-次元のレンズ空間について $(2n-1)-j$ 次のホモロジー群と $j$ 次のホモロジー群の同型は何故導かれるのでしょうか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:49 (JST)<br />
<br />
>これは私の勘違いでした、訂正します。--[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 09:39 (JST)<br />
<br />
<br />
* ところでレンズ空間にはCW複体構造は入るのでしょうか(入る場合、弱ホモトピー同値とホモトピー同値がCW複体間で同値であることより、ホモトピー同値に関する言及などをもうすこし緩い見た目に記述できると思いました(実質的にはなにも変わらないですが))？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:59 (JST)<br />
<br />
>CW複体構造は入ります。この記事には明記していませんが作用で保たれる $S^{2n-1}$ のCW複体構造を構成しそこから誘導されるCW複体構造がレンズ空間に定まります。したがってある連続写像ホモトピー群の同型がえられることとその連続写像がホモトピー同値写像であることが同値となります。弱ホモトピー同値写像同型が連続写像によって誘導されない限りはこの定理は使えません。緩い見た目が何を指しているかは少しわかりませんでした。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
<br />
* [[レンズ空間#Eilenberg–MacLane空間としての無限次元レンズ空間]]にて、「以上の構成において効いている性質は「無限次元球面は[[可縮空間|可縮]]である」ということである。」との記述がありますが、これはどのようなことを主張していますか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:09 (JST)<br />
<br />
>これは分類空間の定義に定義域の部分の可縮性が求められていることによるものです。有次元球面が可縮でないこととは対照的に無限次元球面が可縮となるという事実を強調するためこのような書き方となりました。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
<br />
== 記法に関する事項 ==<br />
* [[レンズ空間#定義]]にて、rmコマンドの影響で $p$ の文字のフォントが変質している部分があります(意図的なものではないと思い指摘させていただきます)。 --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:39 (JST)<br />
<br />
>ご指摘ありがとうございます。あとで訂正させていただきます。<br />
<br />
== 文献情報について ==<br />
* [[レンズ空間#ホモトピー不変量とレンズ空間の分類]]にて記されているいくつかの結果について、文献情報などを明示していただければ幸いです。 --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:56 (JST)<br />
<br />
>ご指摘ありがとうございます。あとで追加させていただきます。</div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%83%88%E3%83%BC%E3%82%AF:%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%BA%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=5907
トーク:レンズ空間
2021-05-03T17:08:58Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div><br />
* [[レンズ空間#レンズ空間]]にて「ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。」とありますが、これはどのようなことを意味していますでしょうか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:32 (JST)<br />
<br />
>ここで指しているのは「多様体は基本群、ホモトピー群、ホモロジー群、コホモロジー群だけでは完全に分類することができない」というものの簡単な例になっているということです。例えば $\rm{L}(5;1),\rm{L}(5;2)$は上記の不変量が全て同じであるにもかかわらず同相どころかホモトピー同値ですらないです。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
* [[レンズ空間#定義]]にて、高次元レンズ空間の定義のなかで $2n-1$-次元球面を群作用によって割っていますが、ここで $n = 1$ のケースは想定されていますか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:35 (JST)<br />
<br />
> $n=1$ についても定義自体は破綻しませんが、ここで想定しているのは $n>2$ です。あとで加筆しておきます。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
** $n = 1$ の場合、$S^1$ は単連結でないため $S^{2n-1}$ の単連結性に言及している箇所においては $n \geq 2$ の仮定が必要だと考えます。 --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:58 (JST)<br />
<br />
* [[レンズ空間#定義から直ちに従うこと]]にて、作用が不連続との記述がありますがどの点で不連続となりますのでしょうか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:42 (JST)<br />
<br />
>ここでの不連続の意味は真正不連続、固有不連続等の文脈で現れる不連続であり、ここでの意味としては軌道が集積点を持たないことを指しています(有限群作用なのでそれはそうなのですが。)。作用そのものは可微分同相写像として作用しています。したがって作用の連続性の文脈においてはこの作用は連続です。(この曖昧な部分は群作用のページ作る際にまとめようと思っています。)おかしな語の並びに見えますが連続な不連続作用という状態です。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
<br />
* [[レンズ空間#定義から直ちに従うこと]]にて、レンズ空間に解析的な多様体構造を入れることができるという事実はなにによるものでしょうか(指示語の意図が明瞭でないように感じました)。 --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:44 (JST)<br />
<br />
>これは解析的な微分同相写像としての作用であることから従います。具体的には得られる被覆写像によって商空間にチャートが定義するという方法によって微分構造を定めます。作り方から座標変換は元の $S^{2n-1}$ の解析的構造を引き継いでいます。(曖昧さについては訂正させていただきます。)—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
<br />
* [[レンズ空間#主な不変量の値]]にて、$2n-1$-次元のレンズ空間について $(2n-1)-j$ 次のホモロジー群と $j$ 次のホモロジー群の同型は何故導かれるのでしょうか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:49 (JST)<br />
<br />
>これは今回たまたまそのようなホモロジー群の並び方をしていたというだけで何かの定理から導かれたものではないです。レンズ空間のホモロジー群が計算できて初めてわかる性質という感じです。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
<br />
* ところでレンズ空間にはCW複体構造は入るのでしょうか(入る場合、弱ホモトピー同値とホモトピー同値がCW複体間で同値であることより、ホモトピー同値に関する言及などをもうすこし緩い見た目に記述できると思いました(実質的にはなにも変わらないですが))？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:59 (JST)<br />
<br />
>CW複体構造は入ります。この記事には明記していませんが作用で保たれる $S^{2n-1}$ のCW複体構造を構成しそこから誘導されるCW複体構造がレンズ空間に定まります。したがってある連続写像ホモトピー群の同型がえられることとその連続写像がホモトピー同値写像であることが同値となります。弱ホモトピー同値写像同型が連続写像によって誘導されない限りはこの定理は使えません。緩い見た目が何を指しているかは少しわかりませんでした。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
<br />
* [[レンズ空間#Eilenberg–MacLane空間としての無限次元レンズ空間]]にて、「以上の構成において効いている性質は「無限次元球面は[[可縮空間|可縮]]である」ということである。」との記述がありますが、これはどのようなことを主張していますか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:09 (JST)<br />
<br />
>これは分類空間の定義に定義域の部分の可縮性が求められていることによるものです。有次元球面が可縮でないこととは対照的に無限次元球面が可縮となるという事実を強調するためこのような書き方となりました。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
<br />
== 記法に関する事項 ==<br />
* [[レンズ空間#定義]]にて、rmコマンドの影響で $p$ の文字のフォントが変質している部分があります(意図的なものではないと思い指摘させていただきます)。 --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:39 (JST)<br />
<br />
>ご指摘ありがとうございます。あとで訂正させていただきます。<br />
<br />
== 文献情報について ==<br />
* [[レンズ空間#ホモトピー不変量とレンズ空間の分類]]にて記されているいくつかの結果について、文献情報などを明示していただければ幸いです。 --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:56 (JST)<br />
<br />
>ご指摘ありがとうございます。あとで追加させていただきます。</div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%83%88%E3%83%BC%E3%82%AF:%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%BA%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=5905
トーク:レンズ空間
2021-05-03T16:46:33Z
<p>ぱなむー: </p>
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<div><br />
* [[レンズ空間#レンズ空間]]にて「ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。」とありますが、これはどのようなことを意味していますでしょうか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:32 (JST)<br />
<br />
>ここで指しているのは「多様体は基本群、ホモトピー群、ホモロジー群、コホモロジー群だけでは完全に分類することができない」というものの簡単な例になっているということです。例えば $\rm{L}(5;1),\rm{L}(5,2)$は上記の不変量が全て同じであるにもかかわらず同相どころかホモトピー同値ですらないです。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
* [[レンズ空間#定義]]にて、高次元レンズ空間の定義のなかで $2n-1$-次元球面を群作用によって割っていますが、ここで $n = 1$ のケースは想定されていますか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:35 (JST)<br />
<br />
> $n=1$ についても定義自体は破綻しませんが、ここで想定しているのは $n>2$ です。あとで加筆しておきます。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
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* [[レンズ空間#定義から直ちに従うこと]]にて、作用が不連続との記述がありますがどの点で不連続となりますのでしょうか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:42 (JST)<br />
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>ここでの不連続の意味は真正不連続、固有不連続等の文脈で現れる不連続であり、ここでの意味としては軌道が集積点を持たないことを指しています(有限群作用なのでそれはそうなのですが。)。作用そのものは可微分同相写像として作用しています。したがって作用の連続性の文脈においてはこの作用は連続です。(この曖昧な部分は群作用のページ作る際にまとめようと思っています。)おかしな語の並びに見えますが連続な不連続作用という状態です。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
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* [[レンズ空間#定義から直ちに従うこと]]にて、レンズ空間に解析的な多様体構造を入れることができるという事実はなにによるものでしょうか(指示語の意図が明瞭でないように感じました)。 --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:44 (JST)<br />
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>これは解析的な微分同相写像としての作用であることから従います。具体的には得られる被覆写像によって商空間にチャートが定義するという方法によって微分構造を定めます。作り方から座標変換は元の $S^{2n-1}$ の解析的構造を引き継いでいます。(曖昧さについては訂正させていただきます。)—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
<br />
* [[レンズ空間#主な不変量の値]]にて、$2n-1$-次元のレンズ空間について $(2n-1)-j$ 次のホモロジー群と $j$ 次のホモロジー群の同型は何故導かれるのでしょうか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:49 (JST)<br />
<br />
>これは今回たまたまそのようなホモロジー群の並び方をしていたというだけで何かの定理から導かれたものではないです。レンズ空間のホモロジー群が計算できて初めてわかる性質という感じです。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
<br />
* ところでレンズ空間にはCW複体構造は入るのでしょうか(入る場合、弱ホモトピー同値とホモトピー同値がCW複体間で同値であることより、ホモトピー同値に関する言及などをもうすこし緩い見た目に記述できると思いました(実質的にはなにも変わらないですが))？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:59 (JST)<br />
<br />
>CW複体構造は入ります。この記事には明記していませんが作用で保たれる $S^{2n-1}$ のCW複体構造を構成しそこから誘導されるCW複体構造がレンズ空間に定まります。したがってある連続写像ホモトピー群の同型がえられることとその連続写像がホモトピー同値写像であることが同値となります。弱ホモトピー同値写像同型が連続写像によって誘導されない限りはこの定理は使えません。緩い見た目が何を指しているかは少しわかりませんでした。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
<br />
* [[レンズ空間#Eilenberg–MacLane空間としての無限次元レンズ空間]]にて、「以上の構成において効いている性質は「無限次元球面は[[可縮空間|可縮]]である」ということである。」との記述がありますが、これはどのようなことを主張していますか？ --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:09 (JST)<br />
<br />
>これは分類空間の定義に定義域の部分の可縮性が求められていることによるものです。有次元球面が可縮でないこととは対照的に無限次元球面が可縮となるという事実を強調するためこのような書き方となりました。—[[利用者:ぱなむー|ぱなむー]] ([[利用者・トーク:ぱなむー|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 01:46 (JST)<br />
<br />
<br />
== 記法に関する事項 ==<br />
* [[レンズ空間#定義]]にて、rmコマンドの影響で $p$ の文字のフォントが変質している部分があります(意図的なものではないと思い指摘させていただきます)。 --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:39 (JST)<br />
<br />
>ご指摘ありがとうございます。あとで訂正させていただきます。<br />
<br />
== 文献情報について ==<br />
* [[レンズ空間#ホモトピー不変量とレンズ空間の分類]]にて記されているいくつかの結果について、文献情報などを明示していただければ幸いです。 --[[利用者:Q-rad|Q-rad]] ([[利用者・トーク:Q-rad|トーク]]) 2021年5月4日 (火) 00:56 (JST)<br />
<br />
>ご指摘ありがとうございます。あとで追加させていただきます。</div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%BA%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=5881
レンズ空間
2021-05-03T13:57:49Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div><noinclude><br />
<br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--><br />
</noinclude><br />
== レンズ空間 ==<br />
レンズ空間（lens space) とは基本的な $3$ 次元閉多様体の一つであり、ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。またはその一般化を含めてレンズ空間と呼ぶこともある。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
* ($3$次元)レンズ空間<br />
まず $(p,q)$ を互いに素な自然数の組み($p\geq2,1\leq q<p$)とし、[[$n$次元球面|$3$ 次元球面]] $S^3$を $S^3\colon=\left\{(z_{1},z_{2})\in{\mathbb{C}}^2 \ \middle| \ |z_{1}|^2+|z_{2}|^{2}=1\right\}$ と ${\mathbb{C}}^2$ の部分空間と見なしておく。すると次のように $S^3$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を[[作用]] させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{3}\hspace{1mm}\times\hspace{1mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{4mm}&\to& \hspace{16mm}S^{3} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2qm\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を $\rm{L}(p;q):=S^{3}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q)$ レンズ空間'''と呼ぶ。<br />
またその他の記号として $\rm{L}(p,q)$ や、その一般化との整合性のため $\rm{L}(p;1,q)$、$\rm{L}_{p}(1,q)$ などと書かれることもある。<br />
<br />
* 高次元レンズ空間<br />
同様の方法でより高次元の球に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用をさせることができる。<br />
まず $(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_n)$ を自然数の組であって、$p\geq 2$、どの $i$ についても $p$ と $1\leq q_{i}<p$ は互いに素であるとする。$(2n-1)$ 次元球面も同様に、$\displaystyle S^{2n-1}\colon=\left\{(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})\in{\mathbb{C}}^n \ \middle| \ \sum_{j=1}^{n}|z_{j}|^2=1\right\}$ として ${\mathbb{C}}^n$ の部分空間と見なしておく。すると同様に次のように $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{2n-1}\hspace{3mm}\times\hspace{2mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{5mm}&\to& \hspace{30mm}S^{2n-1} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2},\cdots,z_{n}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2q_{1}m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}m\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}m\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を $\rm{L}(p;q_{1},q_{2,}\cdots,q_{n}):=S^{2n-1}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ レンズ空間'''と呼ぶ。また他の記号として $\rm{L}_{p}(q_{1},q_{1},\cdots,q_{n})$ も使われることがある。<br />
<br />
*コメント:個人的に特にレンズっぽさは感じられないですね<br />
<br />
== 定義から直ちに従うこと ==<br />
*いずれの場合も作用は標準的球面距離に関して[[等長写像|等長]]かつ[[解析的]]な[[群作用|自由]]な[[群作用|不連続作用]]となっており、自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to \rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は $S^{2n-1}$ の[[単連結空間|単連結性]]から $p$ 次の[[被覆空間|普遍被覆写像]]であり、特に[[主$G$束|主$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$束]]となっている。これにより $\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は解析的(またはなめらかな) 向きづけ可能 $(2n-1)$ 次元閉多様体になり球面距離から自然に距離が定まる。<br />
<br />
<br />
* $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[自己同型群|自己同型写像]]を合成してから作用させても得られる空間は同じものであることがわかる。これは「 $p$ と互いに素な自然数 $r$ に対して、 $\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})=\rm{L}(p;rq_{1},rq_{2},\cdots,rq_{n})$ と同一のものが得られる」という形で定式化される。また特に $n=2$ の時 $\rm{L}(p;q_{1},q_{n})$ を考えると、$q_{1}+p\mathbb{Z}$ は $p$ と $q_{1}$ が互いに素であるから $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ において乗法逆元を持つことに注意する。つまり、ある自然数 $r$ が存在し $rq_{1}\equiv 1 (\rm{mod} \ p)$ となるものが存在する。従って $\rm{L}(p;q_{1},q_{2})=\rm{L}(p;rq_{1},rq_{2})=\rm{L}(p;1,rq_{2})=\rm{L}(p;rq_{2})$ と $3$ 次元の時の定義で十分であることがわかる。<br />
<br />
* $p=2$ の時、 $L(2;1,1,\cdots,1)$ は[[射影空間|実射影空間]] $\mathbb{R}P^{2n-1}$ となる。<br />
<br />
<br />
== 主な不変量の値 ==<br />
* [[基本群]] <br />
自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to \rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は普遍被覆であるからこの被覆変換群が基本群となり特に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と同型となる。特に $q_{i}$ によらず $\pi_1(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}),[(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})])\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ であり、その生成元は <br />
\begin{eqnarray}<br />
\large [0,1]&\to& \hspace{15mm}\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}) \\<br />
t\hspace{3.5mm} &\mapsto& [(z_{1} e^{\frac{2q_{1}t\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}t\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}t\pi}{p}\sqrt{-1}})]<br />
\end{eqnarray}<br />
が表すループが代表元となる。<br />
<br />
* [[ホモトピー群]] <br />
[[弧状連結空間|弧状連結]]であるから $\pi_{0}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ は一点集合である。<br />
$i>1$ に対してはく[[ファイバー束]]の[[ホモトピー完全系列]]の特殊な場合として適用することで $\pi_{i}(S^{2n-1})\cong\pi_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であることがわかり本質的に[[球面のホモトピー群]]を求めることに帰着する。詳しくはそちらも参照されたい。<br />
<br />
* [[ホモロジー群]] <br />
整数係数のホモロジー群は $S^{2n-1}$ の [[CW複体]]の構造であって群作用で保たれるものを具体的に構成することによって計算することができる。もしくは $3$ 次元レンズ空間に対しては後述する [[Dehn手術]],種数 $1$ の[[Heegaard分解]]と[[Mayer–Vietoris完全系列]]よっても計算できる。<br />
\begin{eqnarray}<br />
&H_{0}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z} \\<br />
&H_{1}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\<br />
&H_{2}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&\hspace{10mm}\vdots& {} \\<br />
&H_{2n-3}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ <br />
&H_{2n-2}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H_{2n-1}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z}\\<br />
&H_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \ (i\geq 2n)\\<br />
\end{eqnarray}<br />
($0<i<2n-1$については $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と $\{0\}$ が交互に現れる。)<br />
<br />
* [[コホモロジー群]] <br />
整数係数コホモロジー群は[[Poincaré双対性]]によって $H^{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{(2n-1)-j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であるがホモロジー群の形が $H_{(2n-1)-j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であるから結果的にホモロジー群とコホモロジー群は同型となり $H^{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ である。<br />
<br />
<br />
== ホモトピー不変量とレンズ空間の分類 ==<br />
上のようにレンズ空間の代表的なホモトピー不変量は $p$ によって決まり $q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}$ によらない。異なる $q_i$ に対して[[ホモトピー|ホモトピー同値]]でないようなものが存在すればそれらは上のような不変量で見分けられないことがわかる。そして実際にそのようなものが存在する。([[Whiteheadの定理]]も参照されたい。)またレンズ空間についてはさまざまに分類が既になされている。<br />
<br />
*ホモトピー同値(P. Olum)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}q_{i}\equiv \pm\prod_{i=1}^{n}kq'_{i}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相(E. J. Brody)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv \pm kq'_{\sigma(i)}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
($\pm$ は $i$ に依存してよい。)<br />
<br />
*微分同相(十分条件)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が微分同相」 $\Longleftarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv kq'_{\sigma(i)}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*[[PL同相]](W. Franz, G. de Rham)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がPL同相」$\Longleftrightarrow$ 「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
*[[H-コボルディズム|H-コボルダント]](M. F. Atiyah, R. Bott)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がH-コボルダント」$\Longleftrightarrow$ 「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
<br />
またこれらを $3$ 次元の時にまとめると次のようになる。($3$ 次元多様体においては同相、微分同相、PL同相は互いに同値であることに注意されたい。)<br />
*ホモトピー同値<br />
「$\rm{L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ q\equiv \pm k^2q'\ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ qq'\equiv \pm (kq')^2\ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k'$ が存在して$ qq'\equiv \pm {k'}^2\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相、微分同相、PL同相、H-コボルダント<br />
「$\rm{L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ が同相、微分同相、PL同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して、 $(1\equiv\pm k1\land q\equiv\pm kq')\lor (1\equiv\pm kq'\land q\equiv\pm k1) \ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm q')\lor(1\equiv\pm qq')\ \ (\rm{mod}\ p)$」$\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm {q'}^{\pm 1})\ \ (\rm{mod}\ p)$ 」 (全て $\pm$ は独立)<br />
<br />
== 3次元レンズ空間と[[Dehn手術]]、種数 $1$ の[[Heegaard分解]] ==<br />
$\rm{L}(p;q)$ は二つの[[ソリッドトーラス]]を境界で張り合わせることができる。具体的には二つのソリッドトーラスの一方に標準的な[[ロンジチュード]]、もう一方のソリッドトーラス上に傾き $\pm \frac{p}{q}$ で得られる閉曲線を設定しておく。この二つの直線を張り合わせるように境界を張り合わせると $\rm{L}(p;q)$ が得られる。これは逆に以下えれば $\rm{L}(p;q)$ の種数 $1$ のHeegard分解を与えている。これは同様にDehn手術によって言い換えることができる。$S^3$ 内の[[自明な結び目]]に沿った係数 $\pm \frac{p}{q}$ によるDehn手術によって $\rm{L}(p;q)$ が得られる。また $\pm \frac{p}{q}$ の[[連分数展開]]と[[スラムダンク操作]]を繰り返すことによって自明な結び目からなる鎖状の絡み目に沿った整数手術に書き換えることができる。具体的には $\frac{p}{q}$ の連分数展開を $[a_{0};a_1,a_{2},\cdots,a_{N}]$ とすると、自明な結び目からなる鎖状の $N+1$ 成分絡み目に端から順に係数 $a_{0},a_{1},\cdots,a_{N}$ としたものに書き換えることができる。(図を入れる。)<br />
<br />
== [[Eilenberg–MacLane空間]]としての無限次元レンズ空間==<br />
以下で定義される'''無限次元レンズ空間'''は[[離散群]] $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[分類空間]]、つまり $K(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},1)$ Eilenberg–MacLane空間になっている。主に二つの構成方法がある。<br />
$\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}$ を $p$ と互いに素な数列($1\geq q_{i}<p$)としておく。<br />
*ここで $k<l$ に対して自然な包含写像 $\rm{L}(p,q_{1},q_{2},\cdots,q_{k})\hookrightarrow \rm{L}(p,q_{1},q_{2},\cdots,q_{l})$ が定まる。この[[帰納系]]によって無限次元レンズ空間 $\rm{L}(p;\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}})\colon=\underset{\underset{i\in\mathbb{N}}{\longrightarrow}}{\lim}\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{i})$が定義され、同様に商写像について帰納極限を取ることで $\pi\colon\underset{\underset{i\in\mathbb{N}}{\longrightarrow}}{\lim}S^{2i-1}=\colon S^{\infty}\to \rm{L}(p,\{q_{i}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}})$ が定まりこの写像が $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の分類空間を与えている。<br />
<br />
*複素数からなる$\ell^2$ 空間を考えこの空間の単位球面を $S^{\infty}$ で表すこととする。ここで $S^{\infty}$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を各成分ごとに $\large (\{z_{i}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}},m+p\mathbb{Z})\mapsto \{z_{i}e^{\frac{2q_{i}m\pi}{p}\sqrt{-1}}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}}$ として作用を入れる。これによる商空間および商写像を考えることができ、$\pi\colon S^{\infty} \to S^{\infty}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=\colon \rm{L}(p;\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}})$ が定まる。この写像が $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の分類空間を与えている。<br />
<br />
<br />
以上の構成において効いている性質は「無限次元球面は[[可縮空間|可縮]]である」ということである。またEilenberg–MacLane空間および分類空間のホモトピー一意性から、どのような数列をとってから構成しても互いにホモトピー同値となる。特に $\rm{L}(p;1,1,1,\cdots)$ を考えれば十分であることがわかる。特に $p=2$ の時、無限次元実射影空間 $\mathbb{R}P^{\infty}$となる。<br />
<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[$n$次元球面]]<br />
* [[射影空間]]<br />
* [[Dehn手術]]<br />
* [[Heegaard分解]]<br />
* [[ホモロジー群]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[Whiteheadの定理]]<br />
* [[Eilenberg–MacLane空間]]<br />
* [[分類空間]]<br />
<br />
<br />
====== 脚注 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%BA%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=5880
レンズ空間
2021-05-03T13:55:32Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div><noinclude><br />
<br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--><br />
</noinclude><br />
== レンズ空間 ==<br />
レンズ空間（lens space) とは基本的な $3$ 次元閉多様体の一つであり、ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。またはその一般化を含めてレンズ空間と呼ぶこともある。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
* ($3$次元)レンズ空間<br />
まず $(p,q)$ を互いに素な自然数の組み($p\geq2,1\leq q<p$)とし、[[$n$次元球面|$3$ 次元球面]] $S^3$を $S^3\colon=\left\{(z_{1},z_{2})\in{\mathbb{C}}^2 \ \middle| \ |z_{1}|^2+|z_{2}|^{2}=1\right\}$ と ${\mathbb{C}}^2$ の部分空間と見なしておく。すると次のように $S^3$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を[[作用]] させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{3}\hspace{1mm}\times\hspace{1mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{4mm}&\to& \hspace{16mm}S^{3} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2qm\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を $\rm{L}(p;q):=S^{3}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q)$ レンズ空間'''と呼ぶ。<br />
またその他の記号として $\rm{L}(p,q)$ や、その一般化との整合性のため $\rm{L}(p;1,q)$、$\rm{L}_{p}(1,q)$ などと書かれることもある。<br />
<br />
* 高次元レンズ空間<br />
同様の方法でより高次元の球に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用をさせることができる。<br />
まず $(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_n)$ を自然数の組であって、$p\geq 2$、どの $i$ についても $p$ と $1\leq q_{i}<p$ は互いに素であるとする。$(2n-1)$ 次元球面も同様に、$\displaystyle S^{2n-1}\colon=\left\{(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})\in{\mathbb{C}}^n \ \middle| \ \sum_{j=1}^{n}|z_{j}|^2=1\right\}$ として ${\mathbb{C}}^n$ の部分空間と見なしておく。すると同様に次のように $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{2n-1}\hspace{3mm}\times\hspace{2mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{5mm}&\to& \hspace{30mm}S^{2n-1} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2},\cdots,z_{n}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2q_{1}m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}m\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}m\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を $\rm{L}(p;q_{1},q_{2,}\cdots,q_{n}):=S^{2n-1}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ レンズ空間'''と呼ぶ。また他の記号として $\rm{L}_{p}(q_{1},q_{1},\cdots,q_{n})$ も使われることがある。<br />
<br />
*コメント:個人的に特にレンズっぽさは感じられないですね<br />
<br />
== 定義から直ちに従うこと ==<br />
*いずれの場合も作用は標準的球面距離に関して[[等長写像|等長]]かつ[[解析的]]な[[群作用|自由]]な[[群作用|不連続作用]]となっており、自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to \rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は $S^{2n-1}$ の[[単連結空間|単連結性]]から $p$ 次の[[被覆空間|普遍被覆写像]]であり、特に[[主$G$束|主$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$束]]となっている。これにより $\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は解析的(またはなめらかな) 向きづけ可能 $(2n-1)$ 次元閉多様体になり球面距離から自然に距離が定まる。<br />
<br />
<br />
* $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[自己同型群|自己同型写像]]を合成してから作用させても得られる空間は同じものであることがわかる。これは「 $p$ と互いに素な自然数 $r$ に対して、 $\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})=\rm{L}(p;rq_{1},rq_{2},\cdots,rq_{n})$ と同一のものが得られる」という形で定式化される。また特に $n=2$ の時 $\rm{L}(p;q_{1},q_{n})$ を考えると、$q_{1}+p\mathbb{Z}$ は $p$ と $q_{1}$ が互いに素であるから $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ において乗法逆元を持つことに注意する。つまり、ある自然数 $r$ が存在し $rq_{1}\equiv 1 (\rm{mod} \ p)$ となるものが存在する。従って $\rm{L}(p;q_{1},q_{2})=\rm{L}(p;rq_{1},rq_{2})=\rm{L}(p;1,rq_{2})=\rm{L}(p;rq_{2})$ と $3$ 次元の時の定義で十分であることがわかる。<br />
<br />
* $p=2$ の時、 $L(2;1,1,\cdots,1)$ は[[射影空間|実射影平面]] $\mathbb{R}P^{2n-1}$ となる。<br />
<br />
<br />
== 主な不変量の値 ==<br />
* [[基本群]] <br />
自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to \rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は普遍被覆であるからこの被覆変換群が基本群となり特に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と同型となる。特に $q_{i}$ によらず $\pi_1(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}),[(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})])\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ であり、その生成元は <br />
\begin{eqnarray}<br />
\large [0,1]&\to& \hspace{15mm}\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}) \\<br />
t\hspace{3.5mm} &\mapsto& [(z_{1} e^{\frac{2q_{1}t\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}t\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}t\pi}{p}\sqrt{-1}})]<br />
\end{eqnarray}<br />
が表すループが代表元となる。<br />
<br />
* [[ホモトピー群]] <br />
[[弧状連結空間|弧状連結]]であるから $\pi_{0}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ は一点集合である。<br />
$i>1$ に対してはく[[ファイバー束]]の[[ホモトピー完全系列]]の特殊な場合として適用することで $\pi_{i}(S^{2n-1})\cong\pi_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であることがわかり本質的に[[球面のホモトピー群]]を求めることに帰着する。詳しくはそちらも参照されたい。<br />
<br />
* [[ホモロジー群]] <br />
整数係数のホモロジー群は $S^{2n-1}$ の [[CW複体]]の構造であって群作用で保たれるものを具体的に構成することによって計算することができる。もしくは $3$ 次元レンズ空間に対しては後述する [[Dehn手術]],種数 $1$ の[[Heegaard分解]]と[[Mayer–Vietoris完全系列]]よっても計算できる。<br />
\begin{eqnarray}<br />
&H_{0}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z} \\<br />
&H_{1}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\<br />
&H_{2}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&\hspace{10mm}\vdots& {} \\<br />
&H_{2n-3}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ <br />
&H_{2n-2}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H_{2n-1}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z}\\<br />
&H_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \ (i\geq 2n)\\<br />
\end{eqnarray}<br />
($0<i<2n-1$については $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と $\{0\}$ が交互に現れる。)<br />
<br />
* [[コホモロジー群]] <br />
整数係数コホモロジー群は[[Poincaré双対性]]によって $H^{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{(2n-1)-j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であるがホモロジー群の形が $H_{(2n-1)-j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であるから結果的にホモロジー群とコホモロジー群は同型となり $H^{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ である。<br />
<br />
<br />
== ホモトピー不変量とレンズ空間の分類 ==<br />
上のようにレンズ空間の代表的なホモトピー不変量は $p$ によって決まり $q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}$ によらない。異なる $q_i$ に対して[[ホモトピー|ホモトピー同値]]でないようなものが存在すればそれらは上のような不変量で見分けられないことがわかる。そして実際にそのようなものが存在する。([[Whiteheadの定理]]も参照されたい。)またレンズ空間についてはさまざまに分類が既になされている。<br />
<br />
*ホモトピー同値(P. Olum)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}q_{i}\equiv \pm\prod_{i=1}^{n}kq'_{i}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相(E. J. Brody)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv \pm kq'_{\sigma(i)}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
($\pm$ は $i$ に依存してよい。)<br />
<br />
*微分同相(十分条件)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が微分同相」 $\Longleftarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv kq'_{\sigma(i)}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*[[PL同相]](W. Franz, G. de Rham)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がPL同相」$\Longleftrightarrow$ 「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
*[[H-コボルディズム|H-コボルダント]](M. F. Atiyah, R. Bott)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がH-コボルダント」$\Longleftrightarrow$ 「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
<br />
またこれらを $3$ 次元の時にまとめると次のようになる。($3$ 次元多様体においては同相、微分同相、PL同相は互いに同値であることに注意されたい。)<br />
*ホモトピー同値<br />
「$\rm{L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ q\equiv \pm k^2q'\ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ qq'\equiv \pm (kq')^2\ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k'$ が存在して$ qq'\equiv \pm {k'}^2\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相、微分同相、PL同相、H-コボルダント<br />
「$\rm{L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ が同相、微分同相、PL同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して、 $(1\equiv\pm k1\land q\equiv\pm kq')\lor (1\equiv\pm kq'\land q\equiv\pm k1) \ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm q')\lor(1\equiv\pm qq')\ \ (\rm{mod}\ p)$」$\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm {q'}^{\pm 1})\ \ (\rm{mod}\ p)$ 」 (全て $\pm$ は独立)<br />
<br />
== 3次元レンズ空間と[[Dehn手術]]、種数 $1$ の[[Heegaard分解]] ==<br />
$\rm{L}(p;q)$ は二つの[[ソリッドトーラス]]を境界で張り合わせることができる。具体的には二つのソリッドトーラスの一方に標準的な[[ロンジチュード]]、もう一方のソリッドトーラス上に傾き $\pm \frac{p}{q}$ で得られる閉曲線を設定しておく。この二つの直線を張り合わせるように境界を張り合わせると $\rm{L}(p;q)$ が得られる。これは逆に以下えれば $\rm{L}(p;q)$ の種数 $1$ のHeegard分解を与えている。これは同様にDehn手術によって言い換えることができる。$S^3$ 内の[[自明な結び目]]に沿った係数 $\pm \frac{p}{q}$ によるDehn手術によって $\rm{L}(p;q)$ が得られる。また $\pm \frac{p}{q}$ の[[連分数展開]]と[[スラムダンク操作]]を繰り返すことによって自明な結び目からなる鎖状の絡み目に沿った整数手術に書き換えることができる。具体的には $\frac{p}{q}$ の連分数展開を $[a_{0};a_1,a_{2},\cdots,a_{N}]$ とすると、自明な結び目からなる鎖状の $N+1$ 成分絡み目に端から順に係数 $a_{0},a_{1},\cdots,a_{N}$ としたものに書き換えることができる。(図を入れる。)<br />
<br />
== [[Eilenberg–MacLane空間]]としての無限次元レンズ空間==<br />
以下で定義される'''無限次元レンズ空間'''は[[離散群]] $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[分類空間]]、つまり $K(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},1)$ Eilenberg–MacLane空間になっている。主に二つの構成方法がある。<br />
$\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}$ を $p$ と互いに素な数列($1\geq q_{i}<p$)としておく。<br />
*ここで $k<l$ に対して自然な包含写像 $\rm{L}(p,q_{1},q_{2},\cdots,q_{k})\hookrightarrow \rm{L}(p,q_{1},q_{2},\cdots,q_{l})$ が定まる。この[[帰納系]]によって無限次元レンズ空間 $\rm{L}(p;\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}})\colon=\underset{\underset{i\in\mathbb{N}}{\longrightarrow}}{\lim}\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{i})$が定義され、同様に商写像について帰納極限を取ることで $\pi\colon\underset{\underset{i\in\mathbb{N}}{\longrightarrow}}{\lim}S^{2i-1}=\colon S^{\infty}\to \rm{L}(p,\{q_{i}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}})$ が定まりこの写像が $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の分類空間を与えている。<br />
<br />
*複素数からなる$\ell^2$ 空間を考えこの空間の単位球面を $S^{\infty}$ で表すこととする。ここで $S^{\infty}$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を各成分ごとに $\large (\{z_{i}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}},m+p\mathbb{Z})\mapsto \{z_{i}e^{\frac{2q_{i}m\pi}{p}\sqrt{-1}}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}}$ として作用を入れる。これによる商空間および商写像を考えることができ、$\pi\colon S^{\infty} \to S^{\infty}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=\colon \rm{L}(p;\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}})$ が定まる。この写像が $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の分類空間を与えている。<br />
<br />
<br />
以上の構成において効いている性質は「無限次元球面は[[可縮空間|可縮]]である」ということである。またEilenberg–MacLane空間および分類空間のホモトピー一意性から、どのような数列をとってから構成しても互いにホモトピー同値となる。特に $\rm{L}(p;1,1,1,\cdots)$ を考えれば十分であることがわかる。特に $p=2$ の時、無限次元実射影空間 $\mathbb{R}P^{\infty}$となる。<br />
<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[$n$次元球面]]<br />
* [[射影空間]]<br />
* [[Dehn手術]]<br />
* [[Heegaard分解]]<br />
* [[ホモロジー群]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[Whiteheadの定理]]<br />
* [[Eilenberg–MacLane空間]]<br />
* [[分類空間]]<br />
<br />
<br />
====== 脚注 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%BA%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=5879
レンズ空間
2021-05-03T13:54:05Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div><noinclude><br />
<br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--><br />
</noinclude><br />
== レンズ空間 ('''書きかけ''')==<br />
レンズ空間（lens space) とは基本的な $3$ 次元閉多様体の一つであり、ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。またはその一般化を含めてレンズ空間と呼ぶこともある。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
* ($3$次元)レンズ空間<br />
まず $(p,q)$ を互いに素な自然数の組み($p\geq2,1\leq q<p$)とし、[[$n$次元球面|$3$ 次元球面]] $S^3$を $S^3\colon=\left\{(z_{1},z_{2})\in{\mathbb{C}}^2 \ \middle| \ |z_{1}|^2+|z_{2}|^{2}=1\right\}$ と ${\mathbb{C}}^2$ の部分空間と見なしておく。すると次のように $S^3$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を[[作用]] させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{3}\hspace{1mm}\times\hspace{1mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{4mm}&\to& \hspace{16mm}S^{3} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2qm\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を $\rm{L}(p;q):=S^{3}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q)$ レンズ空間'''と呼ぶ。<br />
またその他の記号として $\rm{L}(p,q)$ や、その一般化との整合性のため $\rm{L}(p;1,q)$、$\rm{L}_{p}(1,q)$ などと書かれることもある。<br />
<br />
* 高次元レンズ空間<br />
同様の方法でより高次元の球に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用をさせることができる。<br />
まず $(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_n)$ を自然数の組であって、$p\geq 2$、どの $i$ についても $p$ と $1\leq q_{i}<p$ は互いに素であるとする。$(2n-1)$ 次元球面も同様に、$\displaystyle S^{2n-1}\colon=\left\{(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})\in{\mathbb{C}}^n \ \middle| \ \sum_{j=1}^{n}|z_{j}|^2=1\right\}$ として ${\mathbb{C}}^n$ の部分空間と見なしておく。すると同様に次のように $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{2n-1}\hspace{3mm}\times\hspace{2mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{5mm}&\to& \hspace{30mm}S^{2n-1} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2},\cdots,z_{n}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2q_{1}m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}m\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}m\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を $\rm{L}(p;q_{1},q_{2,}\cdots,q_{n}):=S^{2n-1}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ レンズ空間'''と呼ぶ。また他の記号として $\rm{L}_{p}(q_{1},q_{1},\cdots,q_{n})$ も使われることがある。<br />
<br />
*コメント:個人的に特にレンズっぽさは感じられないですね<br />
<br />
== 定義から直ちに従うこと ==<br />
*いずれの場合も作用は標準的球面距離に関して[[等長写像|等長]]かつ[[解析的]]な[[群作用|自由]]な[[群作用|不連続作用]]となっており、自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to \rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は $S^{2n-1}$ の[[単連結空間|単連結性]]から $p$ 次の[[被覆空間|普遍被覆写像]]であり、特に[[主$G$束|主$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$束]]となっている。これにより $\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は解析的(またはなめらかな) 向きづけ可能 $(2n-1)$ 次元閉多様体になり球面距離から自然に距離が定まる。<br />
<br />
<br />
* $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[自己同型群|自己同型写像]]を合成してから作用させても得られる空間は同じものであることがわかる。これは「 $p$ と互いに素な自然数 $r$ に対して、 $\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})=\rm{L}(p;rq_{1},rq_{2},\cdots,rq_{n})$ と同一のものが得られる」という形で定式化される。また特に $n=2$ の時 $\rm{L}(p;q_{1},q_{n})$ を考えると、$q_{1}+p\mathbb{Z}$ は $p$ と $q_{1}$ が互いに素であるから $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ において乗法逆元を持つことに注意する。つまり、ある自然数 $r$ が存在し $rq_{1}\equiv 1 (\rm{mod} \ p)$ となるものが存在する。従って $\rm{L}(p;q_{1},q_{2})=\rm{L}(p;rq_{1},rq_{2})=\rm{L}(p;1,rq_{2})=\rm{L}(p;rq_{2})$ と $3$ 次元の時の定義で十分であることがわかる。<br />
<br />
* $p=2$ の時、 $L(2;1,1,\cdots,1)$ は[[射影空間|実射影平面]] $\mathbb{R}P^{2n-1}$ となる。<br />
<br />
<br />
== 主な不変量の値 ==<br />
* [[基本群]] <br />
自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to \rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は普遍被覆であるからこの被覆変換群が基本群となり特に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と同型となる。特に $q_{i}$ によらず $\pi_1(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}),[(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})])\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ であり、その生成元は <br />
\begin{eqnarray}<br />
\large [0,1]&\to& \hspace{15mm}\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}) \\<br />
t\hspace{3.5mm} &\mapsto& [(z_{1} e^{\frac{2q_{1}t\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}t\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}t\pi}{p}\sqrt{-1}})]<br />
\end{eqnarray}<br />
が表すループが代表元となる。<br />
<br />
* [[ホモトピー群]] <br />
[[弧状連結空間|弧状連結]]であるから $\pi_{0}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ は一点集合である。<br />
$i>1$ に対してはく[[ファイバー束]]の[[ホモトピー完全系列]]の特殊な場合として適用することで $\pi_{i}(S^{2n-1})\cong\pi_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であることがわかり本質的に[[球面のホモトピー群]]を求めることに帰着する。詳しくはそちらも参照されたい。<br />
<br />
* [[ホモロジー群]] <br />
整数係数のホモロジー群は $S^{2n-1}$ の [[CW複体]]の構造であって群作用で保たれるものを具体的に構成することによって計算することができる。もしくは $3$ 次元レンズ空間に対しては後述する [[Dehn手術]],種数 $1$ の[[Heegaard分解]]と[[Mayer–Vietoris完全系列]]よっても計算できる。<br />
\begin{eqnarray}<br />
&H_{0}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z} \\<br />
&H_{1}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\<br />
&H_{2}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&\hspace{10mm}\vdots& {} \\<br />
&H_{2n-3}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ <br />
&H_{2n-2}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H_{2n-1}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z}\\<br />
&H_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \ (i\geq 2n)\\<br />
\end{eqnarray}<br />
($0<i<2n-1$については $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と $\{0\}$ が交互に現れる。)<br />
<br />
* [[コホモロジー群]] <br />
整数係数コホモロジー群は[[Poincaré双対性]]によって $H^{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{(2n-1)-j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であるがホモロジー群の形が $H_{(2n-1)-j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であるから結果的にホモロジー群とコホモロジー群は同型となり $H^{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ である。<br />
<br />
<br />
== ホモトピー不変量とレンズ空間の分類 ==<br />
上のようにレンズ空間の代表的なホモトピー不変量は $p$ によって決まり $q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}$ によらない。異なる $q_i$ に対して[[ホモトピー|ホモトピー同値]]でないようなものが存在すればそれらは上のような不変量で見分けられないことがわかる。そして実際にそのようなものが存在する。([[Whiteheadの定理]]も参照されたい。)またレンズ空間についてはさまざまに分類が既になされている。<br />
<br />
*ホモトピー同値(P. Olum)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}q_{i}\equiv \pm\prod_{i=1}^{n}kq'_{i}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相(E. J. Brody)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv \pm kq'_{\sigma(i)}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
($\pm$ は $i$ に依存してよい。)<br />
<br />
*微分同相(十分条件)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が微分同相」 $\Longleftarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv kq'_{\sigma(i)}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*[[PL同相]](W. Franz, G. de Rham)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がPL同相」$\Longleftrightarrow$ 「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
*[[H-コボルディズム|H-コボルダント]](M. F. Atiyah, R. Bott)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がH-コボルダント」$\Longleftrightarrow$ 「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
<br />
またこれらを $3$ 次元の時にまとめると次のようになる。($3$ 次元多様体においては同相、微分同相、PL同相は互いに同値であることに注意されたい。)<br />
*ホモトピー同値<br />
「$\rm{L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ q\equiv \pm k^2q'\ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ qq'\equiv \pm (kq')^2\ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k'$ が存在して$ qq'\equiv \pm {k'}^2\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相、微分同相、PL同相、H-コボルダント<br />
「$\rm{L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ が同相、微分同相、PL同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して、 $(1\equiv\pm k1\land q\equiv\pm kq')\lor (1\equiv\pm kq'\land q\equiv\pm k1) \ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm q')\lor(1\equiv\pm qq')\ \ (\rm{mod}\ p)$」$\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm {q'}^{\pm 1})\ \ (\rm{mod}\ p)$ 」 (全て $\pm$ は独立)<br />
<br />
== 3次元レンズ空間と[[Dehn手術]]、種数 $1$ の[[Heegaard分解]] ==<br />
$\rm{L}(p;q)$ は二つの[[ソリッドトーラス]]を境界で張り合わせることができる。具体的には二つのソリッドトーラスの一方に標準的な[[ロンジチュード]]、もう一方のソリッドトーラス上に傾き $\pm \frac{p}{q}$ で得られる閉曲線を設定しておく。この二つの直線を張り合わせるように境界を張り合わせると $\rm{L}(p;q)$ が得られる。これは逆に以下えれば $\rm{L}(p;q)$ の種数 $1$ のHeegard分解を与えている。これは同様にDehn手術によって言い換えることができる。$S^3$ 内の[[自明な結び目]]に沿った係数 $\pm \frac{p}{q}$ によるDehn手術によって $\rm{L}(p;q)$ が得られる。また $\pm \frac{p}{q}$ の[[連分数展開]]と[[スラムダンク操作]]を繰り返すことによって自明な結び目からなる鎖状の絡み目に沿った整数手術に書き換えることができる。具体的には $\frac{p}{q}$ の連分数展開を $[a_{0};a_1,a_{2},\cdots,a_{N}]$ とすると、自明な結び目からなる鎖状の $N+1$ 成分絡み目に端から順に係数 $a_{0},a_{1},\cdots,a_{N}$ としたものに書き換えることができる。(図を入れる。)<br />
<br />
== [[Eilenberg–MacLane空間]]としての無限次元レンズ空間==<br />
以下で定義される'''無限次元レンズ空間'''は[[離散群]] $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[分類空間]]、つまり $K(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},1)$ Eilenberg–MacLane空間になっている。主に二つの構成方法がある。<br />
$\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}}$ を $p$ と互いに素な数列($1\geq q_{i}<p$)としておく。<br />
*ここで $k<l$ に対して自然な包含写像 $\rm{L}(p,q_{1},q_{2},\cdots,q_{k})\hookrightarrow \rm{L}(p,q_{1},q_{2},\cdots,q_{l})$ が定まる。この[[帰納系]]によって無限次元レンズ空間 $\rm{L}(p;\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}})\colon=\underset{\underset{i\in\mathbb{N}}{\longrightarrow}}{\lim}\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{i})$が定義され、同様に商写像について帰納極限を取ることで $\pi\colon\underset{\underset{i\in\mathbb{N}}{\longrightarrow}}{\lim}S^{2i-1}=\colon S^{\infty}\to \rm{L}(p,\{q_{i}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}})$ が定まりこの写像が $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の分類空間を与えている。<br />
<br />
*複素数からなる$\ell^2$ 空間を考えこの空間の単位球面を $S^{\infty}$ で表すこととする。ここで $S^{\infty}$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を各成分ごとに $\large (\{z_{i}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}},m+p\mathbb{Z})\mapsto \{z_{i}e^{\frac{2q_{i}m\pi}{p}\sqrt{-1}}\}_{\{i\in\mathbb{N}\}}$ として作用を入れる。これによる商空間および商写像を考えることができ、$\pi\colon S^{\infty} \to S^{\infty}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})=\colon \rm{L}(p;\{q_{i}\}_{i\in\mathbb{N}})$ が定まる。この写像が $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の分類空間を与えている。<br />
<br />
<br />
以上の構成において効いている性質は「無限次元球面は[[可縮空間|可縮]]である」ということである。またEilenberg–MacLane空間および分類空間のホモトピー一意性から、どのような数列をとってから構成しても互いにホモトピー同値となる。特に $\rm{L}(p;1,1,1,\cdots)$ を考えれば十分であることがわかる。特に $p=2$ の時、無限次元実射影空間 $\mathbb{R}P^{\infty}$となる。<br />
<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[$n$次元球面]]<br />
* [[射影空間]]<br />
* [[Dehn手術]]<br />
* [[Heegaard分解]]<br />
* [[ホモロジー群]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[Whiteheadの定理]]<br />
* [[Eilenberg–MacLane空間]]<br />
* [[分類空間]]<br />
<br />
<br />
====== 脚注 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%BA%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=5848
レンズ空間
2021-05-03T12:28:08Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div><noinclude><br />
{{restrictPage |visibleToGroup=writer |editableByGroup=writer }}<br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--><br />
</noinclude><br />
== レンズ空間 ('''書きかけ''')==<br />
レンズ空間（lens space) とは基本的な $3$ 次元閉多様体の一つであり、ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。またはその一般化を含めてレンズ空間と呼ぶこともある。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
* $3$次元レンズ空間<br />
まず $(p,q)$ を互いに素な自然数の組み($p\geq2,1\leq q<p$)とし、[[$n$次元球面|$3$ 次元球面]] $S^3$を $S^3\colon=\left\{(z_{1},z_{2})\in{\mathbb{C}}^2 \ \middle| \ |z_{1}|^2+|z_{2}|^{2}=1\right\}$ と ${\mathbb{C}}^2$ の部分空間と見なしておく。すると次のように $S^3$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を[[作用]] させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{3}\hspace{1mm}\times\hspace{1mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{4mm}&\to& \hspace{16mm}S^{3} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2qm\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を $\rm{L}(p;q):=S^{3}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q)$ レンズ空間'''と呼ぶ。<br />
またその他の記号として $\rm{L}(p,q)$ や、その一般化との整合性のため $\rm{L}(p;1,q)$、$\rm{L}_{p}(1,q)$ などと書かれることもある。<br />
<br />
* 高次元レンズ空間<br />
同様の方法でより高次元の球に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用をさせることができる。<br />
まず $(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_n)$ を自然数の組であって、$p\geq 2$、どの $i$ についても $p$ と $1\leq q_{i}<p$ は互いに素であるとする。$(2n-1)$ 次元球面も同様に、$S^{2n-1}\colon=\left\{(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})\in{\mathbb{C}}^n \ \middle| \ \sum_{j=1}^{n}|z_{j}|^2=1\right\}$ として ${\mathbb{C}}^n$ の部分空間と見なしておく。すると同様に次のように $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{2n-1}\hspace{3mm}\times\hspace{2mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{5mm}&\to& \hspace{30mm}S^{2n-1} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2},\cdots,z_{n}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2q_{1}m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}m\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}m\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を $\rm{L}(p;q_{1},q_{2,}\cdots,q_{n}):=S^{2n-1}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ レンズ空間'''と呼ぶ。また他の記号として $\rm{L}_{p}(q_{1},q_{1},\cdots,q_{n})$ も使われることがある。<br />
<br />
*コメント:個人的に特にレンズっぽさは感じられないですね<br />
<br />
== 定義から直ちに従うこと ==<br />
*いずれの場合も作用は標準的球面距離に関して[[等長写像|等長]]かつ[[解析的]]な[[群作用|自由]]な[[群作用|不連続作用]]となっており、自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to \rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は $S^{2n-1}$ の[[単連結空間|単連結性]]から $p$ 次の[[被覆空間|普遍被覆写像]]であり、特に[[主$G$束|主$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$束]]となっている。これにより $\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は解析的(またはなめらかな) 向きづけ可能 $(2n-1)$ 次元閉多様体になり球面距離から自然に距離が定まる。<br />
<br />
<br />
* $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[自己同型群|自己同型写像]]を合成してから作用させても得られる空間は同じものであることがわかる。これは「 $p$ と互いに素な自然数 $r$ に対して、 $\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})=\rm{L}(p;rq_{1},rq_{2},\cdots,rq_{n})$ と同一のものが得られる」という形で定式化される。また特に $n=2$ の時 $\rm{L}(p;q_{1},q_{n})$ を考えると、$q_{1}+p\mathbb{Z}$ は $p$ と $q_{1}$ が互いに素であるから $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ において乗法逆元を持つことに注意する。つまり、ある自然数 $r$ が存在し $rq_{1}\equiv 1 (\rm{mod} \ p)$ となるものが存在する。従って $\rm{L}(p;q_{1},q_{2})=\rm{L}(p;rq_{1},rq_{2})=\rm{L}(p;1,rq_{2})=\rm{L}(p;rq_{2})$ と $3$ 次元の時の定義で十分であることがわかる。<br />
<br />
<br />
== 主な不変量の値 ==<br />
* [[基本群]] <br />
自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to \rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は普遍被覆であるからこの被覆変換群が基本群となり特に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と同型となる。特に $q_{i}$ によらず $\pi_1(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}),[(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})])\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ であり、その生成元は <br />
$$<br />
\large [0,1]\to \rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}), t \mapsto [(z_{1} e^{\frac{2q_{1}t\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}t\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}t\pi}{p}\sqrt{-1}})]<br />
$$ <br />
が表すループが代表元となる。<br />
<br />
* [[ホモトピー群]] <br />
[[弧状連結空間|弧状連結]]であるから $\pi_{0}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ は一点集合である。<br />
$i>1$ に対してはく[[ファイバー束]]の[[ホモトピー完全系列]]の特殊な場合として適用することで $\pi_{i}(S^{2n-1})\cong\pi_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であることがわかり本質的に[[球面のホモトピー群]]を求めることに帰着する。詳しくはそちらも参照されたい。<br />
<br />
* [[ホモロジー群]] <br />
整数係数のホモロジー群は $S^{2n-1}$ の [[CW複体]]の構造であって群作用で保たれるものを具体的に構成することによって計算することができる。もしくは $3$ 次元レンズ空間に対しては後述する [[Dehn手術]],種数 $1$ の[[Heegaard分解]]と[[Mayer–Vietoris完全系列]]よっても計算できる。<br />
\begin{eqnarray}<br />
&H_{0}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z} \\<br />
&H_{1}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\<br />
&H_{2}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&\hspace{10mm}\vdots& {} \\<br />
&H_{2n-3}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ <br />
&H_{2n-2}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H_{2n-1}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z}\\<br />
&H_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \ (i\geq 2n)\\<br />
\end{eqnarray}<br />
($0<i<2n-1$については $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と $\{0\}$ が交互に現れる。)<br />
<br />
* [[コホモロジー群]] <br />
整数係数コホモロジー群は[[Poincaré双対性]]によって $H^{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{(2n-1)-j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であるがホモロジー群の形が $H_{(2n-1)-j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であるから結果的にホモロジー群とコホモロジー群は同型となり $H^{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ である。<br />
<br />
<br />
== ホモトピー不変量とレンズ空間の分類 ==<br />
上のようにレンズ空間の代表的なホモトピー不変量は $p$ によって決まり $q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}$ によらない。異なる $q_i$ に対して[[ホモトピー|ホモトピー同値]]でないようなものが存在すればそれらは上のような不変量で見分けられないことがわかる。そして実際にそのようなものが存在する。([[Whiteheadの定理]]も参照されたい。)またレンズ空間についてはさまざまに分類が既になされている。<br />
<br />
*ホモトピー同値(P. Olum)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}q_{i}\equiv \pm\prod_{i=1}^{n}kq'_{i}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相(E. J. Brody)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv \pm kq'_{\sigma(i)}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
($\pm$ は $i$ に依存してよい。)<br />
<br />
*微分同相(十分条件)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が微分同相」 $\Longleftarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv kq'_{\sigma(i)}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*[[PL同相]](W. Franz, G. de Rham)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がPL同相」$\Longleftrightarrow$ 「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
*[[H-コボルディズム|H-コボルダント]](M. F. Atiyah, R. Bott)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がH-コボルダント」$\Longleftrightarrow$ 「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
<br />
またこれらを $3$ 次元の時にまとめると次のようになる。($3$ 次元多様体においては同相、微分同相、PL同相は互いに同値であることに注意されたい。)<br />
*ホモトピー同値<br />
「$\rm{L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ q\equiv \pm k^2q'\ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ qq'\equiv \pm (kq')^2\ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k'$ が存在して$ qq'\equiv \pm {k'}^2\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相、微分同相、PL同相、H-コボルダント<br />
「$\rm{L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ が同相、微分同相、PL同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して、 $(1\equiv\pm k1\land q\equiv\pm kq')\lor (1\equiv\pm kq'\land q\equiv\pm k1) \ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm q')\lor(1\equiv\pm qq')\ \ (\rm{mod}\ p)$」$\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm {q'}^{\pm 1})\ \ (\rm{mod}\ p)$ 」 (全て $\pm$ は独立)<br />
<br />
== 3次元レンズ空間と[[Dehn手術]]、種数 $1$ の[[Heegaard分解]] ==<br />
$\rm{L}(p;q)$ は二つの[[ソリッドトーラス]]を境界で張り合わせることができる。具体的には二つのソリッドトーラスの一方に標準的な[[ロンジチュード]]、もう一方のソリッドトーラス上に傾き $\pm \frac{p}{q}$ で得られる閉曲線を設定しておく。この二つの直線を張り合わせるように境界を張り合わせると $\rm{L}(p;q)$ が得られる。これは逆に以下えれば $\rm{L}(p;q)$ の種数 $1$ のHeegard分解を与えている。これは同様にDehn手術によって言い換えることができる。$S^3$ 内の[[自明な結び目]]に沿った係数 $\pm \frac{p}{q}$ によるDehn手術によって $\rm{L}(p;q)$ が得られる。また $\pm \frac{p}{q}$ の[[連分数展開]]と[[スラムダンク操作]]を繰り返すことによって自明な結び目からなる鎖状の絡み目に沿った整数手術に書き換えることができる。具体的には $\frac{p}{q}$ の連分数展開を $[a_{0};a_1,a_{2},\cdots,a_{N}]$ とすると、自明な結び目からなる鎖状の $N+1$ 成分絡み目に端から順に係数 $a_{0},a_{1},\cdots,a_{N}$ としたものに書き換えることができる。(図を入れる。)<br />
<br />
== [[Eilenberg–MacLane空間]]としての無限次元レンズ空間==<br />
<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[$n$次元球面]]<br />
* [[Dehn手術]]<br />
* [[Heegaard分解]]<br />
* [[ホモロジー群]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[Whiteheadの定理]]<br />
* [[Eilenberg–MacLane空間]]<br />
<br />
<br />
====== 脚注 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%BA%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=5847
レンズ空間
2021-05-03T12:27:46Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div><noinclude><br />
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</noinclude><br />
== レンズ空間 ('''書きかけ''')==<br />
レンズ空間（lens space) とは基本的な $3$ 次元閉多様体の一つであり、ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。またはその一般化を含めてレンズ空間と呼ぶこともある。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
* $3$次元レンズ空間<br />
まず $(p,q)$ を互いに素な自然数の組み($p\geq2,1\leq q<p$)とし、[[$n$次元球面|$3$ 次元球面]] $S^3$を $S^3\colon=\left\{(z_{1},z_{2})\in{\mathbb{C}}^2 \ \middle| \ |z_{1}|^2+|z_{2}|^{2}=1\right\}$ と ${\mathbb{C}}^2$ の部分空間と見なしておく。すると次のように $S^3$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を[[作用]] させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{3}\hspace{1mm}\times\hspace{1mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{4mm}&\to& \hspace{16mm}S^{3} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2qm\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を $\rm{L}(p;q):=S^{3}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q)$ レンズ空間'''と呼ぶ。<br />
またその他の記号として $\rm{L}(p,q)$ や、その一般化との整合性のため $\rm{L}(p;1,q)$、$\rm{L}_{p}(1,q)$ などと書かれることもある。<br />
<br />
* 高次元レンズ空間<br />
同様の方法でより高次元の球に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用をさせることができる。<br />
まず $(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_n)$ を自然数の組であって、$p\geq 2$、どの $i$ についても $p$ と $1\leq q_{i}<p$ は互いに素であるとする。$(2n-1)$ 次元球面も同様に、$S^{2n-1}\colon=\left\{(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})\in{\mathbb{C}}^n \ \middle| \ \sum_{j=1}^{n}|z_{j}|^2=1\right\}$ として ${\mathbb{C}}^n$ の部分空間と見なしておく。すると同様に次のように $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{2n-1}\hspace{3mm}\times\hspace{2mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{5mm}&\to& \hspace{30mm}S^{2n-1} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2},\cdots,z_{n}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2q_{1}m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}m\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}m\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を $\rm{L}(p;q_{1},q_{2,}\cdots,q_{n}):=S^{2n-1}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ レンズ空間'''と呼ぶ。また他の記号として $\rm{L}_{p}(q_{1},q_{1},\cdots,q_{n})$ も使われることがある。<br />
<br />
*コメント:個人的に特にレンズっぽさは感じられないですね<br />
<br />
== 定義から直ちに従うこと ==<br />
*いずれの場合も作用は標準的球面距離に関して[[等長写像|等長]]かつ[[解析的]]な[[群作用|自由]]な[[群作用|不連続作用]]となっており、自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to \rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は $S^{2n-1}$ の[[単連結空間|単連結性]]から $p$ 次の[[被覆空間|普遍被覆写像]]であり、特に[[主$G$束|主$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$束]]となっている。これにより $\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は解析的(またはなめらかな) 向きづけ可能 $(2n-1)$ 次元閉多様体になり球面距離から自然に距離が定まる。<br />
<br />
<br />
* $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[自己同型群|自己同型写像]]を合成してから作用させても得られる空間は同じものであることがわかる。これは「 $p$ と互いに素な自然数 $r$ に対して、 $\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})=\rm{L}(p;rq_{1},rq_{2},\cdots,rq_{n})$ と同一のものが得られる」という形で定式化される。また特に $n=2$ の時 $\rm{L}(p;q_{1},q_{n})$ を考えると、$q_{1}+p\mathbb{Z}$ は $p$ と $q_{1}$ が互いに素であるから $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ において乗法逆元を持つことに注意する。つまり、ある自然数 $r$ が存在し $rq_{1}\equiv 1 (\rm{mod} \ p)$ となるものが存在する。従って $\rm{L}(p;q_{1},q_{2})=\rm{L}(p;rq_{1},rq_{2})=\rm{L}(p;1,rq_{2})=\rm{L}(p;rq_{2})$ と $3$ 次元の時の定義で十分であることがわかる。<br />
<br />
<br />
== 主な不変量の値 ==<br />
* [[基本群]] <br />
自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to \rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は普遍被覆であるからこの被覆変換群が基本群となり特に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と同型となる。特に $q_{i}$ によらず $\pi_1(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}),[(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})])\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ であり、その生成元は <br />
$$<br />
\large [0,1]\to \rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}), t \mapsto [(z_{1} e^{\frac{2q_{1}t\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}t\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}t\pi}{p}\sqrt{-1}})]<br />
$$ <br />
が表すループが代表元となる。<br />
<br />
* [[ホモトピー群]] <br />
[[弧状連結空間|弧状連結]]であるから $\pi_{0}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ は一点集合である。<br />
$i>1$ に対してはく[[ファイバー束]]の[[ホモトピー完全系列]]の特殊な場合として適用することで $\pi_{i}(S^{2n-1})\cong\pi_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であることがわかり本質的に[[球面のホモトピー群]]を求めることに帰着する。詳しくはそちらも参照されたい。<br />
<br />
* [[ホモロジー群]] <br />
整数係数のホモロジー群は $S^{2n-1}$ の [[CW複体]]の構造であって群作用で保たれるものを具体的に構成することによって計算することができる。もしくは $3$ 次元レンズ空間に対しては後述する [[Dehn手術]],種数 $1$ の[[Heegaard分解]]と[[Mayer–Vietoris完全系列]]よっても計算できる。<br />
\begin{eqnarray}<br />
&H_{0}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z} \\<br />
&H_{1}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\<br />
&H_{2}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&\hspace{10mm}\vdots& {} \\<br />
&H_{2n-3}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ <br />
&H_{2n-2}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H_{2n-1}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z}\\<br />
&H_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \ (i\geq 2n)\\<br />
\end{eqnarray}<br />
($0<i<2n-1$については $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と $\{0\}$ が交互に現れる。)<br />
<br />
* [[コホモロジー群]] <br />
整数係数コホモロジー群は[[Poincaré双対性]]によって $H^{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{(2n-1)-j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であるがホモロジー群の形が $H_{(2n-1)-j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であるから結果的にホモロジー群とコホモロジー群は同型となり $H^{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ である。<br />
<br />
<br />
== ホモトピー不変量とレンズ空間の分類 ==<br />
上のようにレンズ空間の代表的なホモトピー不変量は $p$ によって決まり $q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}$ によらない。異なる $q_i$ に対して[[ホモトピー|ホモトピー同値]]でないようなものが存在すればそれらは上のような不変量で見分けられないことがわかる。そして実際にそのようなものが存在する。([[Whiteheadの定理]]も参照されたい。)またレンズ空間についてはさまざまに分類が既になされている。<br />
<br />
*ホモトピー同値(P. Olum)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}q_{i}\equiv \pm\prod_{i=1}^{n}kq'_{i}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相(E. J. Brody)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv \pm kq'_{\sigma(i)}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
($\pm$ は $i$ に依存してよい。)<br />
<br />
*微分同相(十分条件)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が微分同相」 $\Longleftarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv kq'_{\sigma(i)}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*[[PL同相]](W. Franz, G. de Rham)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がPL同相」$\Longleftrightarrow$ 「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
*[[H-コボルディズム|H-コボルダント]](M. F. Atiyah, R. Bott)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がH-コボルダント」$\Longleftrightarrow$ 「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
<br />
またこれらを $3$ 次元の時にまとめると次のようになる。($3$ 次元多様体においては同相、微分同相、PL同相は互いに同値であることに注意されたい。)<br />
*ホモトピー同値<br />
「$\rm{L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ q\equiv \pm k^2q'\ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ qq'\equiv \pm (kq')^2\ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k'$ が存在して$ qq'\equiv \pm {k'}^2\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相、微分同相、PL同相、H-コボルダント<br />
「$\rm{L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ が同相、微分同相、PL同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して、 $(1\equiv\pm k1\land q\equiv\pm kq')\lor (1\equiv\pm kq'\land q\equiv\pm k1) \ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm q')\lor(1\equiv\pm qq')\ \ (\rm{mod}\ p)$」$\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm {q'}^{\pm 1})\ \ (\rm{mod}\ p)$ 」 (全て $\pm$ は独立)<br />
<br />
== 3次元レンズ空間と[[Dehn手術]]、種数 $1$ の[[Heegaard分解]] ==<br />
$\rm{L}(p;q)$ は二つの[[ソリッドトーラス]]を境界で張り合わせることができる。具体的には二つのソリッドトーラスの一方に標準的な[[ロンジチュード]]、もう一方のソリッドトーラス上に傾き $\pm \frac{p}{q}$ で得られる閉曲線を設定しておく。この二つの直線を張り合わせるように境界を張り合わせると $\rm{L}(p;q)$ が得られる。これは逆に以下えれば $\rm{L}(p;q)$ の種数 $1$ のHeegard分解を与えている。これは同様にDehn手術によって言い換えることができる。$S^3$ 内の[[自明な結び目]]に沿った係数 $\pm \frac{p}{q}$ によるDehn手術によって $\rm{L}(p;q)$ が得られる。また $\pm \frac{p}{q}$ の[[連分数展開]]と[[スラムダンク操作]]を繰り返すことによって自明な結び目からなる鎖状の絡み目に沿った整数手術に書き換えることができる。具体的には $\frac{p}{q}$ の連分数展開を $[a_{0};a_1,a_{2},\cdots,a_{N}]$ とすると、自明な結び目からなる鎖状の $N+1$ 成分絡み目に端から順に係数 $a_{0},a_{1},\cdots,a_{N}$ としたものに書き換えることができる。(図を入れる。)<br />
<br />
== [[Eilenberg–MacLane空間]]としての無限次元レンズ空間==<br />
<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[$n$次元球面]]<br />
* [[Dehn手術]]<br />
* [[Heegaard分解]]<br />
* [[ホモロジー]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[Whiteheadの定理]]<br />
* [[Eilenberg–MacLane空間]]<br />
<br />
<br />
====== 脚注 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%BA%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=5846
レンズ空間
2021-05-03T12:27:12Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div><noinclude><br />
{{restrictPage |visibleToGroup=writer |editableByGroup=writer }}<br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--><br />
</noinclude><br />
== レンズ空間 ('''書きかけ''')==<br />
レンズ空間（lens space) とは基本的な $3$ 次元閉多様体の一つであり、ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。またはその一般化を含めてレンズ空間と呼ぶこともある。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
* $3$次元レンズ空間<br />
まず $(p,q)$ を互いに素な自然数の組み($p\geq2,1\leq q<p$)とし、[[$n$次元球面|$3$ 次元球面]] $S^3$を $S^3\colon=\left\{(z_{1},z_{2})\in{\mathbb{C}}^2 \ \middle| \ |z_{1}|^2+|z_{2}|^{2}=1\right\}$ と ${\mathbb{C}}^2$ の部分空間と見なしておく。すると次のように $S^3$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を[[作用]] させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{3}\hspace{1mm}\times\hspace{1mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{4mm}&\to& \hspace{16mm}S^{3} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2qm\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を $\rm{L}(p;q):=S^{3}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q)$ レンズ空間'''と呼ぶ。<br />
またその他の記号として $\rm{L}(p,q)$ や、その一般化との整合性のため $\rm{L}(p;1,q)$、$\rm{L}_{p}(1,q)$ などと書かれることもある。<br />
<br />
* 高次元レンズ空間<br />
同様の方法でより高次元の球に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用をさせることができる。<br />
まず $(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_n)$ を自然数の組であって、$p\geq 2$、どの $i$ についても $p$ と $1\leq q_{i}<p$ は互いに素であるとする。$(2n-1)$ 次元球面も同様に、$S^{2n-1}\colon=\left\{(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})\in{\mathbb{C}}^n \ \middle| \ \sum_{j=1}^{n}|z_{j}|^2=1\right\}$ として ${\mathbb{C}}^n$ の部分空間と見なしておく。すると同様に次のように $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{2n-1}\hspace{3mm}\times\hspace{2mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{5mm}&\to& \hspace{30mm}S^{2n-1} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2},\cdots,z_{n}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2q_{1}m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}m\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}m\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を $\rm{L}(p;q_{1},q_{2,}\cdots,q_{n}):=S^{2n-1}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ レンズ空間'''と呼ぶ。また他の記号として $\rm{L}_{p}(q_{1},q_{1},\cdots,q_{n})$ も使われることがある。<br />
<br />
*コメント:個人的に特にレンズっぽさは感じられないですね<br />
<br />
== 定義から直ちに従うこと ==<br />
*いずれの場合も作用は標準的球面距離に関して[[等長写像|等長]]かつ[[解析的]]な[[群作用|自由]]な[[群作用|不連続作用]]となっており、自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to \rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は $S^{2n-1}$ の[[単連結空間|単連結性]]から $p$ 次の[[被覆空間|普遍被覆写像]]であり、特に[[主$G$束|主$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$束]]となっている。これにより $\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は解析的(またはなめらかな) 向きづけ可能 $(2n-1)$ 次元閉多様体になり球面距離から自然に距離が定まる。<br />
<br />
<br />
* $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[自己同型群|自己同型写像]]を合成してから作用させても得られる空間は同じものであることがわかる。これは「 $p$ と互いに素な自然数 $r$ に対して、 $\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})=\rm{L}(p;rq_{1},rq_{2},\cdots,rq_{n})$ と同一のものが得られる」という形で定式化される。また特に $n=2$ の時 $\rm{L}(p;q_{1},q_{n})$ を考えると、$q_{1}+p\mathbb{Z}$ は $p$ と $q_{1}$ が互いに素であるから $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ において乗法逆元を持つことに注意する。つまり、ある自然数 $r$ が存在し $rq_{1}\equiv 1 (\rm{mod} \ p)$ となるものが存在する。従って $\rm{L}(p;q_{1},q_{2})=\rm{L}(p;rq_{1},rq_{2})=\rm{L}(p;1,rq_{2})=\rm{L}(p;rq_{2})$ と $3$ 次元の時の定義で十分であることがわかる。<br />
<br />
<br />
== 主な不変量の値 ==<br />
* [[基本群]] <br />
自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to \rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は普遍被覆であるからこの被覆変換群が基本群となり特に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と同型となる。特に $q_{i}$ によらず $\pi_1(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}),[(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})])\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ であり、その生成元は <br />
$$<br />
\large [0,1]\to \rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}), t \mapsto [(z_{1} e^{\frac{2q_{1}t\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}t\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}t\pi}{p}\sqrt{-1}})]<br />
$$ <br />
が表すループが代表元となる。<br />
<br />
* [[ホモトピー群]] <br />
[[弧状連結空間|弧状連結]]であるから $\pi_{0}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ は一点集合である。<br />
$i>1$ に対してはく[[ファイバー束]]の[[ホモトピー完全系列]]の特殊な場合として適用することで $\pi_{i}(S^{2n-1})\cong\pi_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であることがわかり本質的に[[球面のホモトピー群]]を求めることに帰着する。詳しくはそちらも参照されたい。<br />
<br />
* [[ホモロジー群]] <br />
整数係数のホモロジー群は $S^{2n-1}$ の [[CW複体]]の構造であって群作用で保たれるものを具体的に構成することによって計算することができる。もしくは $3$ 次元レンズ空間に対しては後述する [[Dehn手術]],種数 $1$ の[[Heegaard分解]]と[[Mayer–Vietoris完全系列]]よっても計算できる。<br />
\begin{eqnarray}<br />
&H_{0}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z} \\<br />
&H_{1}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\<br />
&H_{2}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&\hspace{10mm}\vdots& {} \\<br />
&H_{2n-3}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ <br />
&H_{2n-2}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H_{2n-1}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z}\\<br />
&H_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \ (i\geq 2n)\\<br />
\end{eqnarray}<br />
($0<i<2n-1$については $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と $\{0\}$ が交互に現れる。)<br />
<br />
* [[コホモロジー群]] <br />
整数係数コホモロジー群は[[Poincaré双対性]]によって $H^{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{(2n-1)-j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であるがホモロジー群の形が $H_{(2n-1)-j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であるから結果的にホモロジー群とコホモロジー群は同型となり $H^{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ である。<br />
<br />
<br />
== ホモトピー不変量とレンズ空間の分類 ==<br />
上のようにレンズ空間の代表的なホモトピー不変量は $p$ によって決まり $q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}$ によらない。異なる $q_i$ に対して[[ホモトピー|ホモトピー同値]]でないようなものが存在すればそれらは上のような不変量で見分けられないことがわかる。そして実際にそのようなものが存在する。([[Whiteheadの定理]]も参照されたい。)またレンズ空間についてはさまざまに分類が既になされている。<br />
<br />
*ホモトピー同値(P. Olum)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}q_{i}\equiv \pm\prod_{i=1}^{n}kq'_{i}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相(E. J. Brody)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv \pm kq'_{\sigma(i)}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
($\pm$ は $i$ に依存してよい。)<br />
<br />
*微分同相(十分条件)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が微分同相」 $\Longleftarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv kq'_{\sigma(i)}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*[[PL同相]](W. Franz, G. de Rham)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がPL同相」$\Longleftrightarrow$ 「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
*[[H-コボルディズム|H-コボルダント]](M. F. Atiyah, R. Bott)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がH-コボルダント」$\Longleftrightarrow$ 「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
<br />
またこれらを $3$ 次元の時にまとめると次のようになる。($3$ 次元多様体においては同相、微分同相、PL同相は互いに同値であることに注意されたい。)<br />
*ホモトピー同値<br />
「$\rm{L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ q\equiv \pm k^2q'\ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ qq'\equiv \pm (kq')^2\ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k'$ が存在して$ qq'\equiv \pm {k'}^2\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相、微分同相、PL同相、H-コボルダント<br />
「$\rm{L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ が同相、微分同相、PL同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して、 $(1\equiv\pm k1\land q\equiv\pm kq')\lor (1\equiv\pm kq'\land q\equiv\pm k1) \ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm q')\lor(1\equiv\pm qq')\ \ (\rm{mod}\ p)$」$\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm {q'}^{\pm 1})\ \ (\rm{mod}\ p)$ 」 (全て $\pm$ は独立)<br />
<br />
== 3次元レンズ空間と[[Dehn手術]]、種数 $1$ の[[Heegaard分解]] ==<br />
$\rm{L}(p;q)$ は二つの[[ソリッドトーラス]]を境界で張り合わせることができる。具体的には二つのソリッドトーラスの一方に標準的な[[ロンジチュード]]、もう一方のソリッドトーラス上に傾き $\pm \frac{p}{q}$ で得られる閉曲線を設定しておく。この二つの直線を張り合わせるように境界を張り合わせると $\rm{L}(p;q)$ が得られる。これは逆に以下えれば $\rm{L}(p;q)$ の種数 $1$ のHeegard分解を与えている。これは同様にDehn手術によって言い換えることができる。$S^3$ 内の[[自明な結び目]]に沿った係数 $\pm \frac{p}{q}$ によるDehn手術によって $\rm{L}(p;q)$ が得られる。また $\pm \frac{p}{q}$ の[[連分数展開]]と[[スラムダンク操作]]を繰り返すことによって自明な結び目からなる鎖状の絡み目に沿った整数手術に書き換えることができる。具体的には $\frac{p}{q}$ の連分数展開を $[a_{0};a_1,a_{2},\cdots,a_{N}]$ とすると、自明な結び目からなる鎖状の $N+1$ 成分絡み目に端から順に係数 $a_{0},a_{1},\cdots,a_{N}$ としたものに書き換えることができる。(図を入れる。)<br />
<br />
== [[Eilenberg–MacLane空間]]としての無限次元レンズ空間==<br />
<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[$n$次元球面]]<br />
* [[Dehn手術]]<br />
* [[Heegaard分解]]<br />
* [[ホモトピー不変量]]<br />
* [[Whiteheadの定理]]<br />
* [[Eilenberg–MacLane空間]]<br />
<br />
<br />
====== 脚注 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%BA%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=5845
レンズ空間
2021-05-03T12:22:54Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div><noinclude><br />
{{restrictPage |visibleToGroup=writer |editableByGroup=writer }}<br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--><br />
</noinclude><br />
== レンズ空間 ('''書きかけ''')==<br />
レンズ空間（lens space) とは基本的な $3$ 次元閉多様体の一つであり、ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。またはその一般化を含めてレンズ空間と呼ぶこともある。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
* $3$次元レンズ空間<br />
まず $(p,q)$ を互いに素な自然数の組み($p\geq2,1\leq q<p$)とし、[[$n$次元球面|$3$ 次元球面]] $S^3$を $S^3\colon=\left\{(z_{1},z_{2})\in{\mathbb{C}}^2 \ \middle| \ |z_{1}|^2+|z_{2}|^{2}=1\right\}$ と ${\mathbb{C}}^2$ の部分空間と見なしておく。すると次のように $S^3$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を[[作用]] させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{3}\hspace{1mm}\times\hspace{1mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{4mm}&\to& \hspace{16mm}S^{3} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2qm\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を $\rm{L}(p;q):=S^{3}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q)$ レンズ空間'''と呼ぶ。<br />
またその他の記号として $\rm{L}(p,q)$ や、その一般化との整合性のため $\rm{L}(p;1,q)$、$\rm{L}_{p}(1,q)$ などと書かれることもある。<br />
<br />
* 高次元レンズ空間<br />
同様の方法でより高次元の球に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用をさせることができる。<br />
まず $(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_n)$ を自然数の組であって、$p\geq 2$、どの $i$ についても $p$ と $1\leq q_{i}<p$ は互いに素であるとする。$(2n-1)$ 次元球面も同様に、$S^{2n-1}\colon=\left\{(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})\in{\mathbb{C}}^n \ \middle| \ \sum_{j=1}^{n}|z_{j}|^2=1\right\}$ として ${\mathbb{C}}^n$ の部分空間と見なしておく。すると同様に次のように $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{2n-1}\hspace{3mm}\times\hspace{2mm}(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{5mm}&\to& \hspace{30mm}S^{2n-1} \\<br />
\large<br />
((z_{1},z_{2},\cdots,z_{n}),m+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z_{1} e^{\frac{2q_{1}m\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}m\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}m\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を $\rm{L}(p;q_{1},q_{2,}\cdots,q_{n}):=S^{2n-1}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ レンズ空間'''と呼ぶ。また他の記号として $\rm{L}_{p}(q_{1},q_{1},\cdots,q_{n})$ も使われることがある。<br />
<br />
*コメント:個人的に特にレンズっぽさは感じられないですね<br />
<br />
== 定義から直ちに従うこと ==<br />
*いずれの場合も作用は標準的球面距離に関して[[等長写像|等長]]かつ[[解析的]]な[[群作用|自由]]な[[群作用|不連続作用]]となっており、自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to \rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は $S^{2n-1}$ の[[単連結空間|単連結性]]から $p$ 次の[[被覆空間|普遍被覆写像]]であり、特に[[主$G$束|主$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$束]]となっている。これにより $\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は解析的(またはなめらかな) 向きづけ可能 $(2n-1)$ 次元閉多様体になり球面距離から自然に距離が定まる。<br />
<br />
<br />
* $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ の[[自己同型群|自己同型写像]]を合成してから作用させても得られる空間は同じものであることがわかる。これは「 $p$ と互いに素な自然数 $r$ に対して、 $\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})=\rm{L}(p;rq_{1},rq_{2},\cdots,rq_{n})$ と同一のものが得られる」という形で定式化される。また特に $n=2$ の時 $\rm{L}(p;q_{1},q_{n})$ を考えると、$q_{1}+p\mathbb{Z}$ は $p$ と $q_{1}$ が互いに素であるから $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ において乗法逆元を持つことに注意する。つまり、ある自然数 $r$ が存在し $rq_{1}\equiv 1 (\rm{mod} \ p)$ となるものが存在する。従って $\rm{L}(p;q_{1},q_{2})=\rm{L}(p;rq_{1},rq_{2})=\rm{L}(p;1,rq_{2})=\rm{L}(p;rq_{2})$ と $3$ 次元の時の定義で十分であることがわかる。<br />
<br />
<br />
== 主な不変量の値 ==<br />
* [[基本群]] <br />
自然な商写像 $\pi\colon S^{2n-1}\to \rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ は普遍被覆であるからこの被覆変換群が基本群となり特に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と同型となる。特に $q_{i}$ によらず $\pi_1(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}),[(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})])\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ であり、その生成元は <br />
$$<br />
\large [0,1]\to \rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}), t \mapsto [(z_{1} e^{\frac{2q_{1}t\pi}{p}\sqrt{-1}},z_{2} e^{\frac{2q_{2}t\pi}{p}\sqrt{-1}},\cdots,z_{n} e^{\frac{2q_{n}t\pi}{p}\sqrt{-1}})]<br />
$$ <br />
が表すループが代表元となる。<br />
<br />
* [[ホモトピー群]] <br />
[[弧状連結空間|弧状連結]]であるから $\pi_{0}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ は一点集合である。<br />
$i>1$ に対してはく[[ファイバー束]]の[[ホモトピー完全系列]]の特殊な場合として適用することで $\pi_{i}(S^{2n-1})\cong\pi_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であることがわかり本質的に[[球面のホモトピー群]]を求めることに帰着する。詳しくはそちらも参照されたい。<br />
<br />
* [[ホモロジー群]] <br />
整数係数のホモロジー群は $S^{2n-1}$ の [[CW複体]]の構造であって群作用で保たれるものを具体的に構成することによって計算することができる。もしくは $3$ 次元レンズ空間に対しては後述する [[Dehn手術]],種数 $1$ の[[Heegaard分解]]と[[Mayer–Vietoris完全系列]]よっても計算できる。<br />
\begin{eqnarray}<br />
&H_{0}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z} \\<br />
&H_{1}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\<br />
&H_{2}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&\hspace{10mm}\vdots& {} \\<br />
&H_{2n-3}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\\ <br />
&H_{2n-2}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \\<br />
&H_{2n-1}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \ \mathbb{Z}\\<br />
&H_{i}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))&\cong& \ \{0\} \ (i\geq 2n)\\<br />
\end{eqnarray}<br />
($0<i<2n-1$については $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ と $\{0\}$ が交互に現れる。)<br />
<br />
* [[コホモロジー群]] <br />
整数係数コホモロジー群は[[Poincaré双対性]]によって $H^{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{(2n-1)-j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であるがホモロジー群の形が $H_{(2n-1)-j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ であるから結果的にホモロジー群とコホモロジー群は同型となり $H^{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))\cong H_{j}(\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}))$ である。<br />
<br />
<br />
== ホモトピー不変量とレンズ空間の分類 ==<br />
上のようにレンズ空間の代表的なホモトピー不変量は $p$ によって決まり $q_{1},q_{2},\cdots,q_{n}$ によらない。異なる $q_i$ に対して[[ホモトピー|ホモトピー同値]]でないようなものが存在すればそれらは上のような不変量で見分けられないことがわかる。そして実際にそのようなものが存在する。([[Whiteheadの定理]]も参照されたい。)またレンズ空間についてはさまざまに分類が既になされている。<br />
<br />
*ホモトピー同値(P. Olum)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$\displaystyle \prod_{i=1}^{n}q_{i}\equiv \pm\prod_{i=1}^{n}kq'_{i}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相(E. J. Brody)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv \pm kq'_{\sigma(i)}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
($\pm$ は $i$ に依存してよい。)<br />
<br />
*微分同相(十分条件)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が微分同相」 $\Longleftarrow$ 「ある自然数 $k$ と置換 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ が存在して、任意の $i$ に対して $q_{i}\equiv kq'_{\sigma(i)}\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*[[PL同相]](W. Franz, G. de Rham)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がPL同相」$\Longleftrightarrow$ 「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
*[[H-コボルディズム|H-コボルダント]](M. F. Atiyah, R. Bott)<br />
「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ がH-コボルダント」$\Longleftrightarrow$ 「$\rm{L}(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_{n})$ と $\rm{L}(p';q'_{1},q'_{2},\cdots,q'_{n})$ が同相」<br />
<br />
<br />
またこれらを $3$ 次元の時にまとめると次のようになる。($3$ 次元多様体においては同相、微分同相、PL同相は互いに同値であることに注意されたい。)<br />
*ホモトピー同値<br />
「$\rm{L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ がホモトピー同値」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ q\equiv \pm k^2q'\ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して$ qq'\equiv \pm (kq')^2\ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k'$ が存在して$ qq'\equiv \pm {k'}^2\ \ (\rm{mod}\ p)$」<br />
<br />
*同相、微分同相、PL同相、H-コボルダント<br />
「$\rm{L}(p;q)$ と $\rm{L}(p';q')$ が同相、微分同相、PL同相」 $\Longleftrightarrow$ 「ある自然数 $k$ が存在して、 $(1\equiv\pm k1\land q\equiv\pm kq')\lor (1\equiv\pm kq'\land q\equiv\pm k1) \ \ (\rm{mod}\ p)$」 $\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm q')\lor(1\equiv\pm qq')\ \ (\rm{mod}\ p)$」$\Longleftrightarrow$ 「$(q\equiv\pm {q'}^{\pm 1})\ \ (\rm{mod}\ p)$ 」 (全て $\pm$ は独立)<br />
<br />
== 3次元レンズ空間と[[Dehn手術]]、種数 $1$ の[[Heegaard分解]] ==<br />
$\rm{L}(p;q)$ は二つの[[ソリッドトーラス]]を境界で張り合わせることができる。具体的には二つのソリッドトーラスの一方に標準的な[[ロンジチュード]]、もう一方のソリッドトーラス上に傾き $\frac{p}{q}$ で得られる閉曲線を設定しておく。この二つの直線を張り合わせるように境界を張り合わせると $\rm{L}(p;q)$ が得られる。これは逆に以下えれば $\rm{L}(p;q)$ の種数 $1$ のHeegard分解を与えている。これは同様にDehn手術によって言い換えることができる。$S^3$ 内の[[自明な結び目]]に沿った係数 $\frac{p}{q}$ によるDehn手術によって $\rm{L}(p;q)$ が得られる。また $\frac{p}{q}$ の[[連分数展開]]と[[スラムダンク操作]]を繰り返すことによって自明な結び目からなる鎖状の絡み目に沿った整数手術に書き換えることができる。具体的には $\frac{p}{q}$ の連分数展開を $[a_{0};a_1,a_{2},\cdots,a_{N}]$ とすると、自明な結び目からなる鎖状の $N+1$ 成分絡み目に端から順に係数 $a_{0},a_{1},\cdots,a_{N}$ としたものに書き換えることができる。(図を入れる。)<br />
<br />
== [[Eilenberg–MacLane空間]]としての無限次元レンズ空間==<br />
<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[$n$次元球面]]<br />
* [[Dehn手術]]<br />
* [[Heegaard分解]]<br />
* [[ホモトピー不変量]]<br />
* [[Whiteheadの定理]]<br />
* [[Eilenberg–MacLane空間]]<br />
<br />
<br />
====== 脚注 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%82%BA%E7%A9%BA%E9%96%93&diff=5783
レンズ空間
2021-05-02T13:42:36Z
<p>ぱなむー: ページの作成:「<noinclude> {{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--> </noinclude> == レンズ空間 ('''書きかけ''')== レンズ空…」</p>
<hr />
<div><noinclude><br />
{{TOC |align=right |noautonum=1 }}<!-- 右寄せ連番無し目次をここに表示--><br />
</noinclude><br />
== レンズ空間 ('''書きかけ''')==<br />
レンズ空間（lens space) とは基本的な閉三次元多様体の一つであり、ある種のホモトピー不変量が完全でない例として度々挙げられる。またはその一般化を含めてレンズ空間と呼ぶこともある。<br />
<br />
== 定義 ==<br />
まず $(p,q)$ を互いに素な自然数の組み($p\geq2$)とし、[[$n$次元球面|$3$ 次元球面]] $S^3$を $S^3\colon=\left\{(z_{1},z_{2})\in{\mathbb{C}}^2 \middle| |z_{1}|^2+|z_{2}|^{2}=1\right\}$ と ${\mathbb{C}}^2$ の部分空間と見なしておく。すると次のように $S^3$ に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を[[作用]] させることができる。<br />
<br />
\begin{eqnarray}<br />
\large<br />
S^{3}\times(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})\hspace{2.5mm}&\to& \hspace{16mm}S^{3} \\<br />
\large<br />
((z,w),n+p\mathbb{Z})\hspace{2mm}&\mapsto& (z e^{\frac{2n\pi}{p}\sqrt{-1}},w e^{\frac{2qn\pi}{p}\sqrt{-1}})<br />
\end{eqnarray}<br />
<br />
この作用による商空間を $\rm{L}(p;q):=S^{3}/(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})$ を'''$(p;q)$ レンズ空間'''と呼ぶ。またその一般化との整合性のため $\rm{L}(p;1,q)$ と書かれることもある<br />
<br />
== 定義(一般化レンズ空間もしくは高次元レンズ空間) ==<br />
同様の方法でより高次元の球に $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ を作用をさせることができる。<br />
まず $(p;q_{1},q_{2},\cdots,q_n)$ を自然数の組であって、$p\geq 2$、どの $i$ についても $p$ と $q_{i}$ は互いに素であるとする。$(2n-1)$次元球面も同様に、${(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})\in{\mathbb{C}}^n \middle| \sum_{j=1}^{n}|z_{j}|^2=1\right\}$ として ${\mathbb{C}}^n$ の部分空間と見なしておく。<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
== 位相的性質 ==<br />
* 異なる $n$ に対して互いに[[同相]]でなく[[ホモトピー|ホモトピー同値]]でもない。<br />
* $S^n$ は $n$ 次元[[多様体の向き|向き付け可能]][[多様体]]で[[分離公理|Hausdorff]]である。<br />
* $S^n$ は[[ユークリッド空間]]の[[有界]][[閉集合]]であるから[[コンパクト空間|コンパクト]]である。<br />
* 正整数 $n$ に対して $S^n$ は[[連結空間|連結]]、またもっと強く[[弧状連結空間|弧状連結]]であるが $S^0$ は二点からなる離散空間であり連結でない。<br />
* 正整数 $n$ に対して $S^n$ は $\mathbb{R}^n$ の[[コンパクト化|一点コンパクト化]]と同相である。<br />
<br />
== 主な不変量の値 ==<br />
* [[ホモロジー群]] <br />
正整数 $n$ に対して整数係数特異[[ホモロジー群]]は $i=0,n$ に対してのみ $H_i(S^n;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$であり、その他の $i$ に対しては$H_i(S^n;\mathbb{Z})\cong \{0\}$となる。 $S^0$ は $i=0$ に対してのみ $H_i(S^0;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$であり、その他の $i$ に対しては $H_i(S^0;\mathbb{Z})\cong \{0\}$である。<br />
<br />
* [[コホモロジー群]] <br />
[[Poincaré双対性]]によって整数係数特異コホモロジー群と整数係数ホモロジー群は $H^i(S^n;\mathbb{Z})\cong H_{n-i}(S^n;\mathbb{Z})$ の関係をみたしこれによりコホモロジー群は、$i=0,n$ に対してのみ $H^i(S^n;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}$であり、その他の $i$ に対しては$H^i(S^n;\mathbb{Z})\cong \{0\}$となる。 $S^0$ は $i=0$ に対してのみ $H^i(S^0;\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$であり、その他の $i$ に対しては $H^i(S^0;\mathbb{Z})\cong \{0\}$であり、結果として(自然な対応ではないが) $H^i(S^n;\mathbb{Z})\cong H_i(S^n;\mathbb{Z})$ とホモロジー群と同型となる。<br />
<br />
* [[基本群]] <br />
正整数 $n$ に対して $S^n$ は弧状連結であるから基本群の同型類は基点の取り方によらない。$n=1$ の時のみ $\pi_1(S^n)\cong \mathbb{Z}$ であり $n>1$ に対しては $\pi_1(S^n)\cong \{0\}$、つまり[[単連結空間|単連結]]である。$n=0$ の時 $S^n$ は弧状連結でなかったから基点を選ぶ必要があるがどちらの点を基点としても基本群は自明となる。<br />
<br />
* [[ホモトピー群]] <br />
上に挙げたような[[不変量]] と異なり、今なお完全なリストは得られていない。詳しくは[[球面のホモトピー群]]を参照されたいがここでも特に重要な例をいくつか挙げる。$S^0$ はどの点を基点として取っても全てのホモトピー群は自明となる。正整数 $n$ に対して $\pi_n(S^n)\cong \mathbb{Z}$であり $0<i<n$ に対しては $\pi_i(S^n)\cong \{0\}$であり、これはつまり $S^n$ は [[$n$-連結空間|$(n-1)$-連結]] であるということである。また $S^1$ の高次のホモトピー群は自明となる。すなわち $i>1$ に対して $\pi_i(S^1)\cong \{0\}$ となる。これは[[被覆空間|普遍被覆]]の被覆写像 $p:\mathbb{R}\to S^1$ がホモトピー群の同型を誘導することと $\mathbb{R}$ が[[可縮空間|可縮]]でホモトピー群が自明になることより従う。<br />
また非自明でかつ最も単純な例として[[Hopfファイブレーション]] と[[ファイバー束]]の[[ホモトピー長完全系列]] によって得られる $\pi_3(S^2)\cong \mathbb{Z}$ がある。 <br />
<br />
== 微分トポロジー的性質 ==<br />
この項では $n$ は常に正整数であるとする。<br />
<br />
* 微分構造 <br />
一般に入る[[微分構造]]は一意ではないが球面の定義の項で与えたノルムの二乗により得られる微分構造を $S^n$ の標準的 (standard) な微分構造という。 実際例えば $S^7$ には少なくとも標準的な微分構造の他に[[微分同相]]でない $S^4$ 上の $S^3$ 束の構造からなる異なる微分構造の存在が知られている。標準的でない微分構造を備えた球面を'''エキゾチック球面'''(exotic sphere)と呼ぶ。どの次元の球面がエキゾチック球面になるか、またその時にどれだけお互い微分同相でない微分構造を持つかなどは現在も未解決である。少なくとも$S^1,S^2,S^3,S^5,S^6,S^{12},S^{56},S^{61}$ はエキゾチック球面の構造を持たないことが知られていて、$S^4$がどれだけ多くの微分構造を許容するかは現在も未解決である。<br />
<br />
* 接束 <br />
標準的な微分構造を備えた $S^n$ のうち[[接束]] $TS^n$が自明となるのは $n=1,3,7$ のみであることが知られている。(Bott-Milnor , Kervaire)。特に $TS^2$ は非自明な [[ベクトル束]] で自明な一次元部分束も許容しないことが知られている。しかしながら $S^n$ 上の自明な一次元ベクトル束 $\epsilon^1_{S^n}$ と[[Whitney和]] を取ることでベクトル束として自明となる。つまり $TS^n\oplus \epsilon_{S^n}^{1}$ は自明となる。これは $S^n\subset \mathbb{R}^{n+1}$ の埋め込みによって接束が $TS^n \oplus \nu =T \mathbb{R}^{n+1} |_{S^n}\cong\epsilon^{n+1}_{S^n}$ と分解することより従う。ただし $\nu$ は[[法束]]である。<br />
<br />
* [[Lie群]]構造 <br />
Lie群の接束は自明であるから、標準的 $S^n$ にLie群の構造が入るとすれば $n=1,3,7$ に限られる。実際に$S^1\cong \rm{U}(1)\cong \mathbb{R}/\mathbb{Z}$、$S^3\cong \rm{Sp}(1)\cong \rm{SU}(2)\cong\rm{Spin}(3)$ と具体的に与えられる。しかしながら $S^7$ にはLie群の構造が入らないことが知られている。これは[[多元体実現問題]]とも関連があり'''結合的な積'''がそなわるのは $2^0,2^1,2^2$次元のみであることと関連がある。ちなみに $2^0$ に対応するのは $S^0$ であり $\mathbb{Z} / 2\mathbb{Z}$ と同型で0次元Lie群として実現できる。<br />
<br />
* Lie群の[[等質空間]] としての構造 <br />
標準 $S^n$ には自然に $\rm{O}(n+1)$、$\rm{SO}(n+1)$ が[[作用]]しこの作用は滑らか(解析的)かつ[[推移的]]である。この作用により $S^n$ は $\rm{O}(n+1)$、$\rm{SO}(n+1)$の等質空間となる。実際にLie群の等質空間は元のLie群の商として得られ$S^n\cong \rm{O}(n+1) / \rm{O}(n)$、$S^n\cong \rm{SO}(n+1)/\rm{SO}(n)$ (こちらは自然に[[多様体の向き|向き]]が定まる)として 構成できる。また奇数次元 $S^{2n-1}$ に対しては $\mathbb{R}^{2n}$ を $\mathbb{C}^n$ と同一視することで $\rm{U}(n)$、$\rm{SU}(n)$ の等質空間、$S^{4n-1}$ に対しては $\mathbb{R}^{4n}$ を $\mathbb{H}^n$ と同一視することで $\rm{Sp}(n)$ の等質空間となる。(特殊)直交群の時と同様に $S^n$ は対応するLie群をさらに一つしたの次元のLie群で割ることで得られる。<br />
<br />
* [[複素構造]] <br />
[[複素多様体]]になり得るのは次元の制限によって偶数次元のみであるが、果たして $S^{2n}$ には複素構造が入るだろうか。実際には複素構造が入るものも入らないものも、また入るかそもそも未解決な物が存在する。例えば $S^2$ には複素構造が入り[[Riemann球面]]と呼ばれる複素多様体となる。対して$S^4 $は複素構造を持たないことが知られている。もっと強く $S^{4n}$ は[[特性類]]による制限で(具体的には[[Pontrjagin類|Pontrjagin数]]で)どれも複素構造が入らないことがわかる。したがって複素構造を許容するのは $S^{4n-2}$ の形のもののみであるが実際には $k\geq 4$ に対して $S^{2k}$ は複素構造を持たないどころか[[概複素構造]]さえ持たないということが知られている。したがって残るは $S^6$ のみであるが $S^6$ に複素構造が入るかはいまだに未解決(2021/2/9現在)である(概複素構造が入ることは知られている。)。<br />
<br />
== リーマン幾何学的性質 ==<br />
$2n$ 次元ユークリッド空間 $\mathbb{E}^{2n}$ の部分多様体としての $S^{2n+1}$ に $\mathbb{E}^{2n}$のユークリッド計量から定まる誘導計量を入れたものを $S^{2n+1}$ の標準的計量という。<br />
これは断面曲率が１の定曲率空間であり、完備単連結で断面曲率が１のものはこれに限る。<br />
<br />
== 参考文献 ==<br />
* [https://amzn.to/3bGxqhx ミルナー・スタシェフ「特性類講義」]<br />
* [https://amzn.to/2FhGxZS ハーシュ「微分トポロジー」]<br />
* [https://amzn.to/3jVUTyb 小林・大島「リー群と表現論」]<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[位相幾何]]<br />
* [[Lie群]]<br />
* [[等質空間]]<br />
* [[微分構造]]<br />
* [[Hopfファイブレーション]]<br />
* [[接束]]<br />
* [[Riemann球面]]<br />
<br />
====== 脚注 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%94%B1%E7%A9%8D&diff=3397
自由積
2021-03-01T09:51:07Z
<p>ぱなむー: /* 具体例 */</p>
<hr />
<div>== 自由積 ==<br />
自由積(free product)とは二つの群から新たな群を得る対応で[[基本群]]との相性が良い。[[群の圏]]における[[余積]]になっている。<ref name="remark1">[[アーベル群の圏]]における[[余積]]は自由積ではなく[[アーベル群]]の[[直和]]であることに注意。</ref><br />
<br />
<br />
== 群の圏において ==<br />
二つの[[群]] $G,H$ の'''自由積'''とは $G\ast H$で表される群で、これは群の圏における[[余積]]であり普遍性から存在すれば同型を除いて一意である。また実際にそのような群はいつでも存在する。自由積をとる操作は自然な同型を除いて単位的、結合的、可換な操作である。<br />
[[集合の圏]]などにおいて余積は非交和として現れるが群の和集合は一般に群にならないように自由積は多少複雑で一般に大きな群となる。また自由積は2つだけなく任意個の群の自由積も定義することができる。<br />
(図式はあとで書く)<br />
また自由積は群の圏での[[押し出し]]である[[融合積]]の特殊な場合でもある。<br />
<br />
== 直接の定義 ==<br />
余積の普遍性から存在すれば同型を除いて一意的に存在する。このような群の構成は'''語と簡約'''によって得られることが知られており、書籍によってはこの構成をもって自由積と呼ぶこともある。<br />
<br />
=== 語の定義と ===<br />
まず二つの群 $(G,e_{G}),(H,e_{H})$<ref name="remark2"> 単位元 $e$ に添字を付けているのは和集合をとった際にどの群の単位元か見分けるため便宜的に付けている。</ref>に対して $G\sqcup H$ の有限列全体を $W$ で表すこととする。([[形式言語]]も参照されたい。ここでは語は"(",")"を用いて扱うこととする。) $W$ の元を'''語'''(word)と呼ぶ。2つの語に対してそれらをそのまま並べて新たな語を定義する'''連接'''と呼ばれる演算が入り $W$ は[[モノイド]]なる<br />
<br />
一般の群の族 $\{(G,e_{G_\lambda})\}_{\lambda\in\Lambda}$ に対しても<ref name="remark3">$0$個の自由積もこの定義が適用できることに注意。これは空語のみからなる自明群となる。</ref> $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda$ の有限列全体を $W$ としてそれらの連接を考えれば同様に $W$ はモノイドとなる。<br />
<br />
=== 簡約(縮約) ===<br />
上で定義されたモノイド $W$ 上に[[関係、同値関係、商集合|同値関係]]を入れることによって群にする。同値関係 $\sim$ は次で生成される。<br />
* $a_i$ がある群の単位元であるとき $(a_1,\cdots, a_{i-1}, a_{i}, a_{i+1} ,\cdots ,a_{n}) \sim (a_1,\cdots ,a_{i-1}, a_{i+1},\cdots a_{n})$<br />
* $b_{j},b_{j+1}$ が同じ群に属しているとき $(b_1,\cdots, b_{j}, b_{j+1},\cdots, b_{m}) \sim (b_1,\cdots ,(b_{j}b_{j+1}), \cdots ,b_{m})$<br />
~以上によって $W/\sim$ は連接によって[[well-defined]]な演算を定めこれは群をなす。実はこれが求めていた自由積の実現の一つである。なお余積を定めるそれぞれの群から射はその群の元をその文字のみからなる長さが $1$ の語の類に対応させることにより得られる。<br />
<br />
== 群の表示が与えられていたとき ==<br />
群の表示が与えられているときはより簡潔に自由積を表すことができる。<br />
$G_\lambda\cong\langle X_\lambda\mid R_\lambda\rangle$ により得られているとき。それらの自由積は<br />
$$\underset{\lambda\in\Lambda}{\ast}G_\lambda\cong\langle\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda\mid\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}R_\lambda\rangle$$<br />
と表すことができる。これはただ生成元と関係式を合わせたもので余計な関係式が入っていない。この余計な関係式が入っていないことが普遍性を満たすことの要因となっている。<br />
<br />
== [[可換化]] ==<br />
自由積の可換化は可換化したものの直和と自然に同型となる。具体的には<br />
$$<br />
(G\ast H)^{ab}\cong G^{ab}\oplus H^{ab}<br />
$$<br />
を満たす。これより一般に無限個の自由積においても成り立つ。具体的には<br />
$$<br />
\left(\underset{\lambda\in\Lambda}{\ast}G_\lambda\right)^{ab}\cong\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}^{ab}<br />
$$<br />
を満たす。<br />
<br />
== 具体例 ==<br />
* [[自明群]]との自由積は同型を除いて変化しない。(自明群は自由積に関する単位的な対象となる。)<br />
* $n$ 個の $\mathbb{Z}$ の自由積はランク $n$ の自由群 $F_n$ と同型となる。特に $F_n\ast F_m\cong F_{n+m}$である。<br />
* $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong \langle a,b\mid a^2,b^2\rangle \cong \langle f_a(x)\colon=-x , f_b(x)\colon=2-x \rangle \subset \rm{Isom}(\mathbb{R})$これは[[コクセター群]]である。特にこれは[[有限群]]同士の自由積は有限群とは限らないことを示している。<br />
* 非自明かつ有名な例として$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\cong \langle a,b\mid a^2,b^3\rangle\cong \rm{PSL}(2,\mathbb{Z})\colon=\rm{SL}(2,\mathbb{Z})/\{\pm I\}$ がある。<br />
これは $a$ を <br />
$\left[ \begin{array}{cc}<br />
1 & 1 \\<br />
0 & 1<br />
\end{array} \right]$ に、<br />
$b$ を <br />
$\left[ \begin{array}{cc}<br />
0 & -1 \\<br />
1 & 0<br />
\end{array} \right]$ に対応させることで同型が実現される。<br />
<br />
また、自由積による表示と上の可換化との関係を用いることで $\rm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ の可換化が <br />
$$<br />
\left(\rm{PSL}(2,\mathbb{Z})\right)^{ab} \cong ((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}))^{ab} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{ab}\oplus(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^{ab} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\oplus(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) \cong\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}<br />
$$<br />
と位数$6$の[[巡回群]]であることがわかる。<br />
<br />
== [[基本群]]との関係 ==<br />
自由積は基本群との相性が良い。点つき空間の[[ウェッジ和]]の基本群は点つき空間の基本群の自由積となる。正しく書けば。弧状連結な点つき空間の族 $\{X_i,x_i\}_{i\in I}$に対して<br />
$$\pi_{1}\left(\bigvee_{i\in I}(X_i,x_i)\right)\cong \underset{i\in I}{\ast} \pi_1(X_i,x_i)$$<br />
を満たす。これはウェッジ和は点つき空間の圏の余積であったから $\pi_1$ 関手は(この条件のもとで)余積を保つ関手である。<br />
このことは[[Van Kampenの定理]]と[[融合積]]の特殊な場合として得られる。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[群の表示]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[融合積]]<br />
* [[Van Kampenの定理]]<br />
<br />
====== 脚注 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%94%B1%E7%A9%8D&diff=3396
自由積
2021-03-01T09:49:26Z
<p>ぱなむー: /* 可換化 */</p>
<hr />
<div>== 自由積 ==<br />
自由積(free product)とは二つの群から新たな群を得る対応で[[基本群]]との相性が良い。[[群の圏]]における[[余積]]になっている。<ref name="remark1">[[アーベル群の圏]]における[[余積]]は自由積ではなく[[アーベル群]]の[[直和]]であることに注意。</ref><br />
<br />
<br />
== 群の圏において ==<br />
二つの[[群]] $G,H$ の'''自由積'''とは $G\ast H$で表される群で、これは群の圏における[[余積]]であり普遍性から存在すれば同型を除いて一意である。また実際にそのような群はいつでも存在する。自由積をとる操作は自然な同型を除いて単位的、結合的、可換な操作である。<br />
[[集合の圏]]などにおいて余積は非交和として現れるが群の和集合は一般に群にならないように自由積は多少複雑で一般に大きな群となる。また自由積は2つだけなく任意個の群の自由積も定義することができる。<br />
(図式はあとで書く)<br />
また自由積は群の圏での[[押し出し]]である[[融合積]]の特殊な場合でもある。<br />
<br />
== 直接の定義 ==<br />
余積の普遍性から存在すれば同型を除いて一意的に存在する。このような群の構成は'''語と簡約'''によって得られることが知られており、書籍によってはこの構成をもって自由積と呼ぶこともある。<br />
<br />
=== 語の定義と ===<br />
まず二つの群 $(G,e_{G}),(H,e_{H})$<ref name="remark2"> 単位元 $e$ に添字を付けているのは和集合をとった際にどの群の単位元か見分けるため便宜的に付けている。</ref>に対して $G\sqcup H$ の有限列全体を $W$ で表すこととする。([[形式言語]]も参照されたい。ここでは語は"(",")"を用いて扱うこととする。) $W$ の元を'''語'''(word)と呼ぶ。2つの語に対してそれらをそのまま並べて新たな語を定義する'''連接'''と呼ばれる演算が入り $W$ は[[モノイド]]なる<br />
<br />
一般の群の族 $\{(G,e_{G_\lambda})\}_{\lambda\in\Lambda}$ に対しても<ref name="remark3">$0$個の自由積もこの定義が適用できることに注意。これは空語のみからなる自明群となる。</ref> $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda$ の有限列全体を $W$ としてそれらの連接を考えれば同様に $W$ はモノイドとなる。<br />
<br />
=== 簡約(縮約) ===<br />
上で定義されたモノイド $W$ 上に[[関係、同値関係、商集合|同値関係]]を入れることによって群にする。同値関係 $\sim$ は次で生成される。<br />
* $a_i$ がある群の単位元であるとき $(a_1,\cdots, a_{i-1}, a_{i}, a_{i+1} ,\cdots ,a_{n}) \sim (a_1,\cdots ,a_{i-1}, a_{i+1},\cdots a_{n})$<br />
* $b_{j},b_{j+1}$ が同じ群に属しているとき $(b_1,\cdots, b_{j}, b_{j+1},\cdots, b_{m}) \sim (b_1,\cdots ,(b_{j}b_{j+1}), \cdots ,b_{m})$<br />
~以上によって $W/\sim$ は連接によって[[well-defined]]な演算を定めこれは群をなす。実はこれが求めていた自由積の実現の一つである。なお余積を定めるそれぞれの群から射はその群の元をその文字のみからなる長さが $1$ の語の類に対応させることにより得られる。<br />
<br />
== 群の表示が与えられていたとき ==<br />
群の表示が与えられているときはより簡潔に自由積を表すことができる。<br />
$G_\lambda\cong\langle X_\lambda\mid R_\lambda\rangle$ により得られているとき。それらの自由積は<br />
$$\underset{\lambda\in\Lambda}{\ast}G_\lambda\cong\langle\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda\mid\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}R_\lambda\rangle$$<br />
と表すことができる。これはただ生成元と関係式を合わせたもので余計な関係式が入っていない。この余計な関係式が入っていないことが普遍性を満たすことの要因となっている。<br />
<br />
== [[可換化]] ==<br />
自由積の可換化は可換化したものの直和と自然に同型となる。具体的には<br />
$$<br />
(G\ast H)^{ab}\cong G^{ab}\oplus H^{ab}<br />
$$<br />
を満たす。これより一般に無限個の自由積においても成り立つ。具体的には<br />
$$<br />
\left(\underset{\lambda\in\Lambda}{\ast}G_\lambda\right)^{ab}\cong\bigoplus_{\lambda\in\Lambda}G_{\lambda}^{ab}<br />
$$<br />
を満たす。<br />
<br />
== 具体例 ==<br />
* [[自明群]]との自由積は同型を除いて変化しない。(自明群は自由積に関する単位的な対象となる。)<br />
* $n$ 個の $\mathbb{Z}$ の自由積はランク $n$ の自由群 $F_n$ と同型となる。特に $F_n\ast F_m\cong F_{n+m}$である。<br />
* $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong \langle a,b\mid a^2,b^2\rangle \cong \langle f_a(x)\colon=-x , f_b(x)\colon=2-x \rangle \subset \rm{Isom}(\mathbb{R})$これは[[コクセター群]]である。特にこれは[[有限群]]同士の自由積は有限群とは限らないことを示している。<br />
* 非自明かつ有名な例として$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\cong \langle a,b\mid a^2,b^3\rangle\cong \rm{PSL}(2,\mathbb{Z})\colon=\rm{SL}(2,\mathbb{Z})/\{\pm I\}$ がある。<br />
これは $a$ を <br />
$\left[ \begin{array}{cc}<br />
1 & 1 \\<br />
0 & 1<br />
\end{array} \right]$ に、<br />
$b$ を <br />
$\left[ \begin{array}{cc}<br />
0 & -1 \\<br />
1 & 0<br />
\end{array} \right]$ に対応させることで同型が実現される。<br />
<br />
また、自由積による表示と上の可換化との関係を用いることで $\rm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ の可換化が <br />
$$<br />
\left(\rm{PSL}(2,\mathbb{Z})\right)^{ab} \cong ((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}))^{ab} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{ab}\times(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^{ab} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) \cong\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}<br />
$$<br />
と位数$6$の[[巡回群]]であることがわかる。<br />
<br />
== [[基本群]]との関係 ==<br />
自由積は基本群との相性が良い。点つき空間の[[ウェッジ和]]の基本群は点つき空間の基本群の自由積となる。正しく書けば。弧状連結な点つき空間の族 $\{X_i,x_i\}_{i\in I}$に対して<br />
$$\pi_{1}\left(\bigvee_{i\in I}(X_i,x_i)\right)\cong \underset{i\in I}{\ast} \pi_1(X_i,x_i)$$<br />
を満たす。これはウェッジ和は点つき空間の圏の余積であったから $\pi_1$ 関手は(この条件のもとで)余積を保つ関手である。<br />
このことは[[Van Kampenの定理]]と[[融合積]]の特殊な場合として得られる。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[群の表示]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[融合積]]<br />
* [[Van Kampenの定理]]<br />
<br />
====== 脚注 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%94%B1%E7%A9%8D&diff=2654
自由積
2021-02-11T03:44:10Z
<p>ぱなむー: /* 語の定義と */</p>
<hr />
<div>== 自由積 ==<br />
自由積(free product)とは二つの群から新たな群を得る対応で[[基本群]]との相性が良い。[[群の圏]]における[[余積]]になっている。<ref name="remark1">[[アーベル群の圏]]における[[余積]]は自由積ではなく[[アーベル群]]の[[直和]]であることに注意。</ref><br />
<br />
<br />
== 群の圏において ==<br />
二つの[[群]] $G,H$ の'''自由積'''とは $G\ast H$で表される群で、これは群の圏における[[余積]]であり普遍性から存在すれば同型を除いて一意である。また実際にそのような群はいつでも存在する。自由積をとる操作は自然な同型を除いて単位的、結合的、可換な操作である。<br />
[[集合の圏]]などにおいて余積は非交和として現れるが群の和集合は一般に群にならないように自由積は多少複雑で一般に大きな群となる。また自由積は2つだけなく任意個の群の自由積も定義することができる。<br />
(図式はあとで書く)<br />
また自由積は群の圏での[[押し出し]]である[[融合積]]の特殊な場合でもある。<br />
<br />
== 直接の定義 ==<br />
余積の普遍性から存在すれば同型を除いて一意的に存在する。このような群の構成は'''語と簡約'''によって得られることが知られており、書籍によってはこの構成をもって自由積と呼ぶこともある。<br />
<br />
=== 語の定義と ===<br />
まず二つの群 $(G,e_{G}),(H,e_{H})$<ref name="remark2"> 単位元 $e$ に添字を付けているのは和集合をとった際にどの群の単位元か見分けるため便宜的に付けている。</ref>に対して $G\sqcup H$ の有限列全体を $W$ で表すこととする。([[形式言語]]も参照されたい。ここでは語は"(",")"を用いて扱うこととする。) $W$ の元を'''語'''(word)と呼ぶ。2つの語に対してそれらをそのまま並べて新たな語を定義する'''連接'''と呼ばれる演算が入り $W$ は[[モノイド]]なる<br />
<br />
一般の群の族 $\{(G,e_{G_\lambda})\}_{\lambda\in\Lambda}$ に対しても<ref name="remark3">$0$個の自由積もこの定義が適用できることに注意。これは空語のみからなる自明群となる。</ref> $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda$ の有限列全体を $W$ としてそれらの連接を考えれば同様に $W$ はモノイドとなる。<br />
<br />
=== 簡約(縮約) ===<br />
上で定義されたモノイド $W$ 上に[[関係、同値関係、商集合|同値関係]]を入れることによって群にする。同値関係 $\sim$ は次で生成される。<br />
* $a_i$ がある群の単位元であるとき $(a_1,\cdots, a_{i-1}, a_{i}, a_{i+1} ,\cdots ,a_{n}) \sim (a_1,\cdots ,a_{i-1}, a_{i+1},\cdots a_{n})$<br />
* $b_{j},b_{j+1}$ が同じ群に属しているとき $(b_1,\cdots, b_{j}, b_{j+1},\cdots, b_{m}) \sim (b_1,\cdots ,(b_{j}b_{j+1}), \cdots ,b_{m})$<br />
~以上によって $W/\sim$ は連接によって[[well-defined]]な演算を定めこれは群をなす。実はこれが求めていた自由積の実現の一つである。なお余積を定めるそれぞれの群から射はその群の元をその文字のみからなる長さが $1$ の語の類に対応させることにより得られる。<br />
<br />
== 群の表示が与えられていたとき ==<br />
群の表示が与えられているときはより簡潔に自由積を表すことができる。<br />
$G_\lambda\cong\langle X_\lambda\mid R_\lambda\rangle$ により得られているとき。それらの自由積は<br />
$$\underset{\lambda\in\Lambda}{\ast}G_\lambda\cong\langle\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda\mid\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}R_\lambda\rangle$$<br />
と表すことができる。これはただ生成元と関係式を合わせたもので余計な関係式が入っていない。この余計な関係式が入っていないことが普遍性を満たすことの要因となっている。<br />
<br />
== [[可換化]] ==<br />
自由積の可換化は可換化したものの直積と自然に同型となる。具体的には<br />
$$<br />
(G\ast H)^{ab}\cong G^{ab}\times H^{ab}<br />
$$<br />
を満たす。これより一般に無限個の自由積においても成り立つ。具体的には<br />
$$<br />
\left(\underset{\lambda\in\Lambda}{\ast}G_\lambda\right)^{ab}\cong\underset{\lambda\in\Lambda}{\times}G_{\lambda}^{ab}<br />
$$<br />
を満たす。<br />
<br />
== 具体例 ==<br />
* [[自明群]]との自由積は同型を除いて変化しない。(自明群は自由積に関する単位的な対象となる。)<br />
* $n$ 個の $\mathbb{Z}$ の自由積はランク $n$ の自由群 $F_n$ と同型となる。特に $F_n\ast F_m\cong F_{n+m}$である。<br />
* $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong \langle a,b\mid a^2,b^2\rangle \cong \langle f_a(x)\colon=-x , f_b(x)\colon=2-x \rangle \subset \rm{Isom}(\mathbb{R})$これは[[コクセター群]]である。特にこれは[[有限群]]同士の自由積は有限群とは限らないことを示している。<br />
* 非自明かつ有名な例として$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\cong \langle a,b\mid a^2,b^3\rangle\cong \rm{PSL}(2,\mathbb{Z})\colon=\rm{SL}(2,\mathbb{Z})/\{\pm I\}$ がある。<br />
これは $a$ を <br />
$\left[ \begin{array}{cc}<br />
1 & 1 \\<br />
0 & 1<br />
\end{array} \right]$ に、<br />
$b$ を <br />
$\left[ \begin{array}{cc}<br />
0 & -1 \\<br />
1 & 0<br />
\end{array} \right]$ に対応させることで同型が実現される。<br />
<br />
また、自由積による表示と上の可換化との関係を用いることで $\rm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ の可換化が <br />
$$<br />
\left(\rm{PSL}(2,\mathbb{Z})\right)^{ab} \cong ((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}))^{ab} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{ab}\times(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^{ab} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) \cong\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}<br />
$$<br />
と位数$6$の[[巡回群]]であることがわかる。<br />
<br />
== [[基本群]]との関係 ==<br />
自由積は基本群との相性が良い。点つき空間の[[ウェッジ和]]の基本群は点つき空間の基本群の自由積となる。正しく書けば。弧状連結な点つき空間の族 $\{X_i,x_i\}_{i\in I}$に対して<br />
$$\pi_{1}\left(\bigvee_{i\in I}(X_i,x_i)\right)\cong \underset{i\in I}{\ast} \pi_1(X_i,x_i)$$<br />
を満たす。これはウェッジ和は点つき空間の圏の余積であったから $\pi_1$ 関手は(この条件のもとで)余積を保つ関手である。<br />
このことは[[Van Kampenの定理]]と[[融合積]]の特殊な場合として得られる。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[群の表示]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[融合積]]<br />
* [[Van Kampenの定理]]<br />
<br />
====== 脚注 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E8%87%AA%E7%94%B1%E7%A9%8D&diff=2639
自由積
2021-02-10T14:03:19Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div>== 自由積 ==<br />
自由積(free product)とは二つの群から新たな群を得る対応で[[基本群]]との相性が良い。[[群の圏]]における[[余積]]になっている。<ref name="remark1">[[アーベル群の圏]]における[[余積]]は自由積ではなく[[アーベル群]]の[[直和]]であることに注意。</ref><br />
<br />
<br />
== 群の圏において ==<br />
二つの[[群]] $G,H$ の'''自由積'''とは $G\ast H$で表される群で、これは群の圏における[[余積]]であり普遍性から存在すれば同型を除いて一意である。また実際にそのような群はいつでも存在する。自由積をとる操作は自然な同型を除いて単位的、結合的、可換な操作である。<br />
[[集合の圏]]などにおいて余積は非交和として現れるが群の和集合は一般に群にならないように自由積は多少複雑で一般に大きな群となる。また自由積は2つだけなく任意個の群の自由積も定義することができる。<br />
(図式はあとで書く)<br />
また自由積は群の圏での[[押し出し]]である[[融合積]]の特殊な場合でもある。<br />
<br />
== 直接の定義 ==<br />
余積の普遍性から存在すれば同型を除いて一意的に存在する。このような群の構成は'''語と簡約'''によって得られることが知られており、書籍によってはこの構成をもって自由積と呼ぶこともある。<br />
<br />
=== 語の定義と ===<br />
まず二つの群 $(G,e_{G}),(H,e_{H})$ (($e$に添字を付けているのは和集合をとった際にどの群の単位元か見分けるため便宜的に付けている。))に対して $G\sqcup H$ の有限列全体を $W$ で表すこととする。([[形式言語]]も参照されたい。ここでは語は"(",")"を用いて扱うこととする。) $W$ の元を'''語'''(word)と呼ぶ。2つの語に対してそれらをそのまま並べて新たな語を定義する'''連接'''と呼ばれる演算が入り $W$ は[[モノイド]]なる<br />
<br />
一般の群の族 $\{(G,e_{G_\lambda})\}_{\lambda\in\Lambda}$ に対しても<ref name="remark2">$0$個の自由積もこの定義が適用できることに注意。これは空語のみからなる自明群となる。</ref> $\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}G_\lambda$ の有限列全体を $W$ としてそれらの連接を考えれば同様に $W$ はモノイドとなる。<br />
<br />
<br />
=== 簡約(縮約) ===<br />
上で定義されたモノイド $W$ 上に[[関係、同値関係、商集合|同値関係]]を入れることによって群にする。同値関係 $\sim$ は次で生成される。<br />
* $a_i$ がある群の単位元であるとき $(a_1,\cdots, a_{i-1}, a_{i}, a_{i+1} ,\cdots ,a_{n}) \sim (a_1,\cdots ,a_{i-1}, a_{i+1},\cdots a_{n})$<br />
* $b_{j},b_{j+1}$ が同じ群に属しているとき $(b_1,\cdots, b_{j}, b_{j+1},\cdots, b_{m}) \sim (b_1,\cdots ,(b_{j}b_{j+1}), \cdots ,b_{m})$<br />
~以上によって $W/\sim$ は連接によって[[well-defined]]な演算を定めこれは群をなす。実はこれが求めていた自由積の実現の一つである。なお余積を定めるそれぞれの群から射はその群の元をその文字のみからなる長さが $1$ の語の類に対応させることにより得られる。<br />
<br />
== 群の表示が与えられていたとき ==<br />
群の表示が与えられているときはより簡潔に自由積を表すことができる。<br />
$G_\lambda\cong\langle X_\lambda\mid R_\lambda\rangle$ により得られているとき。それらの自由積は<br />
$$\underset{\lambda\in\Lambda}{\ast}G_\lambda\cong\langle\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}X_\lambda\mid\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}R_\lambda\rangle$$<br />
と表すことができる。これはただ生成元と関係式を合わせたもので余計な関係式が入っていない。この余計な関係式が入っていないことが普遍性を満たすことの要因となっている。<br />
<br />
== [[可換化]] ==<br />
自由積の可換化は可換化したものの直積と自然に同型となる。具体的には<br />
$$<br />
(G\ast H)^{ab}\cong G^{ab}\times H^{ab}<br />
$$<br />
を満たす。これより一般に無限個の自由積においても成り立つ。具体的には<br />
$$<br />
\left(\underset{\lambda\in\Lambda}{\ast}G_\lambda\right)^{ab}\cong\underset{\lambda\in\Lambda}{\times}G_{\lambda}^{ab}<br />
$$<br />
を満たす。<br />
<br />
== 具体例 ==<br />
* [[自明群]]との自由積は同型を除いて変化しない。(自明群は自由積に関する単位的な対象となる。)<br />
* $n$ 個の $\mathbb{Z}$ の自由積はランク $n$ の自由群 $F_n$ と同型となる。特に $F_n\ast F_m\cong F_{n+m}$である。<br />
* $(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\cong \langle a,b\mid a^2,b^2\rangle \cong \langle f_a(x)\colon=-x , f_b(x)\colon=2-x \rangle \subset \rm{Isom}(\mathbb{R})$これは[[コクセター群]]である。特にこれは[[有限群]]同士の自由積は有限群とは限らないことを示している。<br />
* 非自明かつ有名な例として$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})\cong \langle a,b\mid a^2,b^3\rangle\cong \rm{PSL}(2,\mathbb{Z})\colon=\rm{SL}(2,\mathbb{Z})/\{\pm I\}$ がある。<br />
これは $a$ を <br />
$\left[ \begin{array}{cc}<br />
1 & 1 \\<br />
0 & 1<br />
\end{array} \right]$ に、<br />
$b$ を <br />
$\left[ \begin{array}{cc}<br />
0 & -1 \\<br />
1 & 0<br />
\end{array} \right]$ に対応させることで同型が実現される。<br />
<br />
また、自由積による表示と上の可換化との関係を用いることで $\rm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ の可換化が <br />
$$<br />
\left(\rm{PSL}(2,\mathbb{Z})\right)^{ab} \cong ((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\ast(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}))^{ab} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{ab}\times(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^{ab} \cong (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\times(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}) \cong\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}<br />
$$<br />
と位数$6$の[[巡回群]]であることがわかる。<br />
<br />
== [[基本群]]との関係 ==<br />
自由積は基本群との相性が良い。点つき空間の[[ウェッジ和]]の基本群は点つき空間の基本群の自由積となる。正しく書けば。弧状連結な点つき空間の族 $\{X_i,x_i\}_{i\in I}$に対して<br />
$$\pi_{1}\left(\bigvee_{i\in I}(X_i,x_i)\right)\cong \underset{i\in I}{\ast} \pi_1(X_i,x_i)$$<br />
を満たす。これはウェッジ和は点つき空間の圏の余積であったから $\pi_1$ 関手は(この条件のもとで)余積を保つ関手である。<br />
このことは[[Van Kampenの定理]]と[[融合積]]の特殊な場合として得られる。<br />
<br />
== 関連項目 ==<br />
* [[群の表示]]<br />
* [[基本群]]<br />
* [[融合積]]<br />
* [[Van Kampenの定理]]<br />
<br />
====== 脚注 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー
https://math.jp/w/index.php?title=%E3%83%A1%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%83%9A%E3%83%BC%E3%82%B8&diff=2638
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2021-02-10T13:14:24Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
== はじめに：執筆者の皆様へ ==<br />
[[執筆者ガイドライン]]に必ず目を通してください。その後、[[Sandbox]]で記事編集を試してください。メニューに個人用サンドボックスもあります。個人用サンドボックスは下書きなどに利用してください。<br />
<categorytree mode='pages'>移行準備</categorytree><br />
<br />
== MediaWikiについて ==<br />
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:FAQ/ja MediaWiki よくある質問]<br />
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Help:Formatting/ja MediaWiki Help:書式整形]<br />
<br />
== Mathpedia にようこそ ==<br />
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<br />
== 各分野のOverview ==<br />
=== [[代数学]] ===<br />
====[[モノイド論]]・[[群論]]====<br />
* [[可換モノイド論]]<br />
* [[群のコホモロジー]]<br />
<br />
====[[環論]]・[[体論]]====<br />
環論の初歩では、他分野で広く使われる事柄を解説する。内容は必ずしも体系的に整理されているとは限らないが、各ページが独立して読めるように配慮している。<br />
* [[環論の初歩]]<br />
* [[可換環論の初歩]]<br />
環論の基礎では、環論自体を体系的に整理することを目的とするとき各論を知るうえで必要となる事柄を解説する。<br />
* [[環論の基礎]]<br />
* [[環上の加群論]]<br />
* [[環上の加群のホモロジー代数]]<br />
* [[可換環論の基礎]]<br />
<br />
====[[ホモロジー代数]] ====<br />
<br />
=== [[幾何学]] ===<br />
* [[位相空間論]]<br />
* [[位相幾何]]<br />
* [[微分幾何]]<br />
* [[複素幾何]]<br />
* [[ゲージ理論]]<br />
* [[代数幾何学|代数幾何]]<br />
* [[数論幾何]]<br />
* [[代数的トポロジー]]<br />
* [[力学系]]<br />
* [[幾何学的群論]]<br />
<br />
<br />
=== [[解析学]] ===<br />
=== [[数論]] ===<br />
* [[代数的整数論]] <br />
* [[局所類体論]] <br />
* [[大域類体論]]<br />
<br />
=== [[数学基礎論]] ===<br />
=== [[圏論]] ===<br />
[[Galois圏]]<br />
<br />
== テキスト形式のコンテンツ ==<br />
[[モチーフとホモトピー]]<br />
<br />
[[入門テキスト「位相空間論」]]<br />
<br />
[[入門テキスト「測度と積分」]]<br />
<br />
== 演習問題回答 ==<br />
* [[演習問題解答：Engelking「General Topology」]]<br />
* [[演習問題解答 Matsumura 「Commutative Ring Theory」]]<br />
* [[演習問題解答：Hirsch「微分トポロジー」]]<br />
* [[演習問題解答：雪江明彦「代数学１ 群論入門」]]</div>
ぱなむー
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2021-02-10T13:13:38Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
== はじめに：執筆者の皆様へ ==<br />
[[執筆者ガイドライン]]に必ず目を通してください。その後、[[Sandbox]]で記事編集を試してください。メニューに個人用サンドボックスもあります。個人用サンドボックスは下書きなどに利用してください。<br />
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== MediaWikiについて ==<br />
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:FAQ/ja MediaWiki よくある質問]<br />
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<br />
== 各分野のOverview ==<br />
=== [[代数学]] ===<br />
====[[モノイド論]]・[[群論]]====<br />
* [[可換モノイド論]]<br />
* [[群のコホモロジー]]<br />
<br />
====[[環論]]・[[体論]]====<br />
環論の初歩では、他分野で広く使われる事柄を解説する。内容は必ずしも体系的に整理されているとは限らないが、各ページが独立して読めるように配慮している。<br />
* [[環論の初歩]]<br />
* [[可換環論の初歩]]<br />
環論の基礎では、環論自体を体系的に整理することを目的とするとき各論を知るうえで必要となる事柄を解説する。<br />
* [[環論の基礎]]<br />
* [[環上の加群論]]<br />
* [[環上の加群のホモロジー代数]]<br />
* [[可換環論の基礎]]<br />
<br />
====[[ホモロジー代数]] ====<br />
<br />
=== [[幾何学]] ===<br />
* [[位相空間論]]<br />
* [[位相幾何]]<br />
* [[微分幾何]]<br />
* [[複素幾何]]<br />
* [[ゲージ理論]]<br />
* [[代数幾何学|代数幾何]]<br />
* [[数論幾何]]<br />
* [[代数的トポロジー]]<br />
* [[力学系]]<br />
* [[幾何学的群論]]<br />
<br />
<br />
=== [[解析学]] ===<br />
=== [[数論]] ===<br />
* [[代数的整数論]] <br />
* [[局所類体論]] <br />
* [[大域類体論]]<br />
<br />
=== [[数学基礎論]] ===<br />
=== [[圏論]] ===<br />
[[Galois圏]]<br />
<br />
== テキスト形式のコンテンツ ==<br />
[[モチーフとホモトピー]]<br />
<br />
[[入門テキスト「位相空間論」]]<br />
<br />
[[入門テキスト「測度と積分」]]<br />
<br />
== 演習問題回答 ==<br />
[[演習問題解答：Engelking「General Topology」]]<br />
[[演習問題解答 Matsumura 「Commutative Ring Theory」]]<br />
[[演習問題解答：Hirsch「微分トポロジー」]]<br />
[[演習問題解答：雪江明彦「代数学１ 群論入門」]]</div>
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2021-02-10T13:03:21Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div>__NOTOC__<br />
== はじめに：執筆者の皆様へ ==<br />
[[執筆者ガイドライン]]に必ず目を通してください。その後、[[Sandbox]]で記事編集を試してください。メニューに個人用サンドボックスもあります。個人用サンドボックスは下書きなどに利用してください。<br />
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== MediaWikiについて ==<br />
* [https://www.mediawiki.org/wiki/Special:MyLanguage/Manual:FAQ/ja MediaWiki よくある質問]<br />
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== 各分野のOverview ==<br />
=== [[代数学]] ===<br />
====[[モノイド論]]・[[群論]]====<br />
* [[可換モノイド論]]<br />
* [[群のコホモロジー]]<br />
<br />
====[[環論]]・[[体論]]====<br />
環論の初歩では、他分野で広く使われる事柄を解説する。内容は必ずしも体系的に整理されているとは限らないが、各ページが独立して読めるように配慮している。<br />
* [[環論の初歩]]<br />
* [[可換環論の初歩]]<br />
環論の基礎では、環論自体を体系的に整理することを目的とするとき各論を知るうえで必要となる事柄を解説する。<br />
* [[環論の基礎]]<br />
* [[環上の加群論]]<br />
* [[環上の加群のホモロジー代数]]<br />
* [[可換環論の基礎]]<br />
<br />
====[[ホモロジー代数]] ====<br />
<br />
=== [[幾何学]] ===<br />
* [[位相空間論]]<br />
* [[位相幾何]]<br />
* [[微分幾何]]<br />
* [[複素幾何]]<br />
* [[代数幾何学|代数幾何]]<br />
* [[数論幾何]]<br />
* [[代数的トポロジー]]<br />
* [[力学系]]<br />
* [[幾何学的群論]]<br />
<br />
<br />
=== [[解析学]] ===<br />
=== [[数論]] ===<br />
* [[代数的整数論]] <br />
* [[局所類体論]] <br />
* [[大域類体論]]<br />
<br />
=== [[数学基礎論]] ===<br />
=== [[圏論]] ===<br />
[[Galois圏]]<br />
<br />
== テキスト形式のコンテンツ ==<br />
[[モチーフとホモトピー]]<br />
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被覆空間
2021-02-10T12:41:32Z
<p>ぱなむー: </p>
<hr />
<div>== 被覆空間 ==<br />
被覆空間（ひふくくうかん、covering space)とは、位相空間を局所的な形を保ったまま覆うような位相空間である。良い性質を持つ位相空間に対しては基本群との対応があり基本群を計算する際に非常に有用である。特に多様体に関する問題は普遍被覆での問題に帰着させることで解決できるものも少なくない。<br />
<br />
<br />
== 定義 ==<br />
位相空間 $X$ に対して、位相空間 $Y$ と連続写像 $p\colon Y\to X$が次を満たす時 $(p,Y)$ を、または $p$ が明らかである時は省略し単に $Y$ を $X$ の(または $X$ 上の )'''被覆空間'''または'''被覆'''といい、この時の $p$ を'''被覆写像'''(covering map)と呼ぶ。<br />
<br />
* 任意の $x\in X$ に対しある[[開近傍]] $s\in U\subset X$ が存在し、さらに、ある離散空間 $F$ と同相写像 $\psi\colon p^{-1}(U) \to U\times F$ が存在し$p|_{p^{-1}(U)}=Pr_{1}\circ\psi$ を満たすことをいう。ただし $ Pr_{1}$ は第一成分への射影である。<br />
<br />
これは $p$ を $x$ のごく近く $U$ だけで見ると いくつか(無限かもしれないが)の'''平行な''' $U$ (この一枚一枚を'''シート'''や'''成分'''などと呼ぶ)を $U$ に束ねるような写像になっている。また条件から $p$ は全射となることに注意されたい。$x\in X$ に対して $p^{-1}(x)$ ($x$ の'''ファイバー'''と呼ばれる)は $F$ と同型であるが $X$ が[[連結空間|連結]]である時 $x$ の取り方によらず同型で $F$ の[[濃度]] $|F|$ は点によらずに定まる。この濃度を被覆の'''次数'''<ref name="notation">被覆度とも</ref>(degree)と呼び、次数が $n$ の時この被覆を'''$n$次被覆'''と呼ぶ。普通 $X,Y$ には連結性が仮定されることも多くこのページにおいても連結性を仮定する。<br />
<br />
== 被覆の間の射と被覆空間の圏 ==<br />
同じ位相空間 $X$ 上の二つの被覆 $(p_1,Y_1),(p_2,y_2)$ に対して、連続写像 $f\colon Y_1\to Y_2$ であって $p_1=p_2\circ f$ を満たすとき $f$ は $X$ 上の被覆 $(p_1,Y_1)$ から $(p_2,Y_2)$ への被覆の準同型であるといい、これによって対象を $X$ 上の被覆、射を被覆の準同型として位相空間 $X$ 上の被覆の圏 $\mathrm{Cov}(X)$ が定義される。特に $f$ が被覆の準同型でさらに $f^{-1}$ が存在するとき(自然に被覆の準同型になる。)、これは言い換えれば $f$ が同相写像であるような被覆の準同型である時二つの被覆は同型であるといいこのとき $f$ を被覆の同型射という。<br />
<br />
<br />
== 具体例 ==<br />
* 恒等写像 $id_X\colon X\to X$ 次数 $1$ の被覆である。<br />
* 最も重要な例の一つとして $p\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}/\mathbb{Z}\cong S^1$ は無限次被覆である。<br />
* $S^1$ を[[ノルム]]が $1$ の[[複素数]]全体とみなすと $p_m\colon S^1\to S^1,p_m(z)\colon=z^m$ は $m$ 次被覆である。<br />
* [[Lie群]] $G$ とその離散部分群 $\Gamma$ に対して自然な全射 $G\to G/\Gamma$ は $|\Gamma|$次被覆である。<br />
* 位相空間 $X$ に [[位相群]] $G$ が[[作用|真正不連続作用]]<ref name="remark1">真正不連続の定義は様々な'''同値でない'''流儀が存在するので確認されたい。</ref>している時、自然な全射 $X\to X/G$ は被覆となる。特に自由に作用している時被覆次数は $|G|$ となる。<br />
<br />
<br />
== リフトの一意性とホモトピーリフト性質 ==<br />
=== [[リフト]]の一意性 ===<br />
連続全射 $p\colon Y\to X$ と連続写像 $f\colon Z\to X$ に対して、連続写像 $g\colon Z\to Y$ であって $p\circ g=f$ となる時 $g$ を $f$ のリフトという。(詳しくは[[リフト]]を参照されたい。) 一般にリフトは複数存在することも存在しないこともあるが $Z$ が連結で$p$ が被覆写像である時はリフトは存在すれば次の意味で一意的となる。<br />
*二つのリフト $g_1,g_2$ がある一点 $z_0 \in Z$ で $g_1(z_0)=g_2(z_0)$ と一致する時全体で一致し $g_1=g_2$となる。これは言い換えれば後述する被覆変換の違いのを除いてリフトは一意であると言える。<br />
<br />
=== [[ホモトピーリフト性質]]<ref name="remark2">被覆ホモトピー性質とも</ref> ===<br />
$p\colon Y\to X$ を被覆とする。この時ホモトピー $h\colon Z\times [0,1]\to X$ のリフトについては"基点"を定めるとホモトピー全体のリフトが'''一意'''に定まる。これは定式化すれば、$Z \times \{0\}\subset Z\times [0,1]$ の制限のリフト、つまり $f\colon Z\times \{0\}\to Y$ であって $p\circ f=h|_{Z\times\{0\}}$ を満たすものがある時、 $h$ のリフト $\tilde{h}\colon Z\times [0,1]\to Y$ であって $ \tilde{h}|_{Z\times \{0\}}=f$ となるものが一意的に存在する。特に $Z$ が一点である時を考えればこれは[[基本群|道]]の持ち上げ(リフト)の一意性を誘導する。 これは道 $\gamma\colon [0,1]\to X$ に対して'''基点''' $z_{0}\in p^{-1}(\gamma(0))$ を選ぶと $\gamma$ のリフト $\tilde{\gamma}\colon[0,1]\to Y$ であって $\tilde{\gamma}(0)=z_0$ となるものが一意的に存在する。<br />
<br />
<br />
== 普遍被覆 ==<br />
位相空間 $X$ に対して、被覆 $p\colon \tilde{X}\to X$ であって $\tilde{X}$ が(弧状連結かつ)単連結となる時この被覆を'''普遍被覆'''(universal covering)と呼ぶ。位相空間 $X$ に普遍被覆が存在することと、$X$ が[[連結空間|連結]]かつ[[弧状連結空間|局所弧状連結]]かつ[[半局所単連結空間|半局所単連結]]であることが同値であることが知られている。[[CW複体]]や[[多様体]]は[[可縮空間|局所可縮]]で局所弧状連結かつ半局所単連結であるから連結なCW複体、多様体は普遍被覆を持つ。また普遍被覆は存在すれば同型を除いて一意的である。<br />
<br />
<br />
== 被覆変換群 ==<br />
被覆 $p\colon Y\to X$ に対して'''被覆変換群'''または'''デッキ変換群'''(covering/ Deck transfomation group)と呼ばれる群が定まる。これは被覆 $(p,Y)$ の(被覆の準同型の)自己同型射全体がなす群で $\mathrm{Aut}_{\mathrm{Cov}(X)}(p,Y)$ や $\mathrm{Deck}(Y/X)$ などと書かれる。直接定義すればより単純で、 自己同相写像 $f\colon Y\to Y$ であって $p=p\circ f$ を満たすようなもの全体がなす群であるとも言える。被覆変換群はファイバーへの自然な(左)作用を持つ。具体的には $x\in X$ に対して $\mathrm{Aut}(p,Y) \times p^{-1}(x) \to p^{-1}(x), (f,y)\mapsto f(y)$ によって与えられる。また被覆変換群は $Y^Y$ の[[コンパクト開位相]]によって位相が定まり $X$ が[[局所コンパクト空間|局所コンパクト]]のとき演算(写像の合成とる写像)が連続に、$X$ が[[コンパクト空間|コンパクト]]のとき逆元を取る写像が連続となる。したがって $X$ がコンパクトハウスドルフであるとき被覆変換群はコンパクト開位相によってハウスドルフとは限らない[[位相群]]となる。被覆変換群が特に[[巡回群|(有限,無限)巡回群]]となる時'''(有限,無限)巡回被覆'''と呼ぶ。<br />
<br />
== 正規被覆、正則被覆、ガロア被覆 ==<br />
被覆 $p\colon Y \to X$ であって $X,Y$ が[[弧状連結空間|局所弧状連結]]とする(実際には $X$ の局所コンパクト性は自動的に従う)このとき被覆変換群の全てのファイバーへの作用は自由となる。さらにこの作用が推移的(あるファイバー推移的であれば他の任意のファイバーでも推移的となる)であるとき $(p,Y)$ は'''正規被覆'''(regular-)、'''正則被覆'''(normal)、'''ガロア被覆''' (Galois-)などと呼ばれ、自由かつ推移的に作用することから被覆変換群のファイバーへの作用は被覆変換群の被覆変換群自身への左作用と[[G-空間|$\mathrm{Aut}(p,Y)$-空間]]として同型であり(ただしこのときは$\mathrm{Aut}(p,Y)$には離散位相を入れている)、$(p,Y)$ は[[主G束|主$\mathrm{Aut}(p,Y)$束]]となる。<br />
<br />
== 基本群と被覆変換群 ==<br />
この節においては $X,Y$ は常に連結かつ局所弧状連結したがって弧状連結であるとする。<br />
被覆 $p\colon Y\to X$ と任意の点 $x_1\in X$ に対して $\pi(X,x_0)$ の $p^{-1}(x_0)$ への推移的な作用が存在する。これは<br />
$\pi(X,x_0)\times p^{-1}(x_0)\to p^{-1}(x_0),([\gamma],y)\mapsto$ 「$\gamma$ の $y$ を始点とする道の持ち上げの終点」と定めることによって得られる(Well-defined性は本質的にはホモトピーリフト性質により従う。) 。<br />
また $X$ に普遍被覆が存在するとき $\mathrm{Cov}(X)$ と $\pi_1(X,x_0)$ が推移的に作用する集合と同変写像の圏は「被覆に対してファイバーへの基本群の作用を対応させる[[関手]]」によって[[圏同値]]となる。これにより、特に $p\colon Y\to X$ が普遍被覆であるとき $\mathrm{Aut}(p,Y)\cong\pi_1(X,x_0)$となる。これにより様々な基本群の計算をすることができる。例えば単連結な多様体(多様体であるから局所弧状連結であることに注意) $M$ に離散群 $G$ が真正不連続に作用しているとき $\pi_1(M/G)\cong G$となる。これにより[[トーラス]]の基本群が $\mathbb{Z}^2$ であることなどが従う。さらに $X$ に普遍被覆が存在するとき 「$X$ 上の被覆の同型類」と「$\pi_1(X,x_0)$ の部分群の共役類」には $(p,Y)\mapsto [p_{*}(\pi_1(Y,y))]$ による自然な1:1の対応が存在する。特に正規被覆に対応する部分群の共役類の代表元は正規部分群であり、これにより同じ仮定の元で「$X$上の正規被覆」と「$X$の基本群の正規部分群」には自然な1:1の対応が定まる。<br />
<br />
== 位相群、Lie群の被覆 ==<br />
位相群やLie群の被覆には被覆写像が準同型となる位相群、Lie群の構造が定まる。特に連結Lie群は局所弧状連結局所単連結であるから普遍被覆が存在し普遍被覆Lie群が(同型を除いて一意に)定まる。例えば[[特殊直交群]] $\rm{SO}(n)$ は $3\leq n$ の時[[弧状連結空間|弧状連結]]でその[[基本群]]は $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ と同型で非自明である。従って $\rm{SO}(n)$ は $3\leq n$ の時、次数が2である普遍被覆Lie群を持つ。この群は[[スピン群]] $\rm{Spin}(n)$と呼ばれる。<br />
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== 参考文献 ==<br />
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== 関連項目 ==<br />
* [[分岐被覆]]<br />
* [[リフト]]<br />
* [[ホモトピーリフト性質]]<br />
* [[Hurewiczファイブレーション]]<br />
* [[Serreファイブレーション]]<br />
* [[ファイバー束]]<br />
* [[基本群]]<br />
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====== 脚注 ======<br />
<references /></div>
ぱなむー